Determinati numerele naturale x, y, z stiind ca:
(2^(2x+y) – 11)/(4^2x -9) = (2y + 1)/(3y + 1) = (z^2 +1)/(3z + 1)
Imi dati o idee?
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Determinati numerele naturale x, y, z stiind ca:
(2^(2x+y) – 11)/(4^2x -9) = (2y + 1)/(3y + 1) = (z^2 +1)/(3z + 1)
Imi dati o idee?
Deoarece y este natural rezulta ca 2*y+1<=3*y+1 egalitatea avand loc atunci si numai atunci cand y=0.
Intr-adevar, daca y>0 rezulra ca 0<2*y<3*y de unde rezulta ca 0<2*y+1<3*y+1 deunde rezulta ca 0<(2*y+1)/(3*y+1)<1
Ca urmare,deoarece pentru orice z natural z^2+>0 si 3*z+1>0 rezulta ca este necesar ca 0<(z^2+1)<=3*z+1
Deci z^2+1<=3*z+1 ceeace este echicalent cu
z^2<=3*z ceea ce este echivalent cu (tinand cont ca z este numar natural)
z<=3. Deci z poate lua valorile 0;1;2;3
Daca z=0 rezulta ca (z^2+1)/(3*z+1)=1 si deci
(2*y+1)/(3*y+1)=1 de unde rezulta ca y=0.
In aceste conditii, prima egalitate din enunt este echivalenta cu
(2^(2*x)-11)/(4^(2*x)-9)=1 ceea ce este echivalent cu
4^(2*x)-9=2^(2*x)-11 ceea ce este echivalent cu
2^(2*x)-4^(2*x)=2 egalitate imposibila in multimea numerelor naturale
Daca z=1 rezulta ca (z^2+1)/(3*z+1)=1/2 si deci este necesar ca
(2*y+1)/(3*y+1)=1/2 relatie care nu poate avea loc in multimea numerelor naturale
Daca z=2 rezulta ca (z^2+1)/(3*z+1)=5/7 de unde rezulta ca este necesar ca
(2*y+1)/(3*y+1)=5/7 deunde rezulta y=2.
In aceste conditii, prima egalitate din enunt este echivalenta cu
(2^(2*x+2)-11)/(4^(2*x)-9)=5/7 Notand 2^(2*x)=t ultima relatie devine
(4*t-11)/(t^2-9)=5/7 ceea ce este echivalent cu
5*(t^2-9)=7*(4*t-11) ceea ce este echivalent cu
5*t^2-28*t+32=0 care are solutia naturala t=4. Deci 2^(2*x)=4 si deci x=1
Deci avem solutia x=1;y=2;z=2
Daca z=3 rezulta ca (z^2+1)/(3*z+1)=1 de unde rezulta ca
(2*y+1)/(3*y+1)=1 de unde rezulta y=0 , caz in care am vazut ca x nu este natural