Fie a, b, c, d numere reale astfel incat a>0, b>0, c>0 si a + b + c + d = 0
Demonstrati ca : a supra bcd(produs) + (alta fractie) b supra acd + (alta fractie) c supra abd + (alta fractie) d supra abc = -2(1 supra ab(produs) +
(alta fractie) 1 supra ac + (alta fractie) 1 supra ad + (alta fractie) 1 supra bc + (alta fractie) 1 supra bd + (alta fractie) 1 supra cd)
Fie a, b numere reale strict pozitive cu a inmultit cu b este egal cu 1.
Sa se arate ca a la puterea a treia supra a + 1 +(alta fractie) b la puterea a treia supra b + 1 mai mare sau egal decat 1.
Fie a, b, c numere reale pozitive cu a + b + c =1 Sa se arate ca ab(produs) – c + 2 totul supra 3- c + (alta fractie) ac (produs) – b + 2 totul supra 3 – b + (alta fractie) bc(produs) – a +2 totul supra 3 -a mai mic sau egal cu 2.
Fie a, b numere reale strict pozitive cu a inmultit cu b este egal cu 1.
Sa se arate ca a la puterea a treia supra a + 1 +(alta fractie) b la puterea a treia supra b + 1 mai mare sau egal decat 1.
Pornim de la ab=1 exceptand cazul a=b=1 rezulta unul din factori mai mare decat 1 si cum expresia E=(a^3)/(a+1)+(b^3)/(b+1) este simetrica in raport cu a si b (inversand a cu b nu se modifica) putem considera in mod arbitrar ca a>1.
Fie a=1+x cu x>0 numar real. Rezulta (1+x)*b=1 adica b=1/(1+x) si inlocuim in expresia E-1=(a^3)/(a+1)+((b^3)/(b+1))-1= ((1+x)^3)/((1+x)+1)+(((1/(1+x))^3)/((1/(1+x))+1))-1 care dupa cateva prelucrari si aducere la acelasi numitor devine :
(((1+x)^5)+1-((1+x)^2)*(2+x))/ ((1+x)^2)*(2+x) , numitorul ((1+x)^2)*(2+x) > 0 si analizam numai numaratorul
((1+x)^5)+1-((1+x)^2)*(2+x)=(x^5)+5*(x^4)+10*(x^3)+10*(x^2)+5*x+1+1-((x^3)+4*(x^2)+5*x+2)=(x^5)+5*(x^4)+9*(x^3)+6*(x^2) si cum x>0 rezulta numaratorul >0 rezulta mai departe E-1>0 deci E>1.
Pentru a=b=1 rezulta E=1
a supra bcd(produs) + (alta fractie) b supra acd + (alta fractie) c supra abd + (alta fractie) d supra abc = -2(1 supra ab(produs) +
(alta fractie) 1 supra ac + (alta fractie) 1 supra ad + (alta fractie) 1 supra bc + (alta fractie) 1 supra bd + (alta fractie) 1 supra cd)
In stanga egalitatii aduci la acelasi numitor si apoi scoti numaratorul in functie de restul relatiei si dupa simplificari rezulta:
(a^2)+(b^2)+(c^2)+(d^2)=-2*(cd+bd+bc+ad+ac+ab) echivalent cu
(a^2)+(b^2)+(c^2)+(d^2)+2*(cd+bd+bc+ad+ac+ab)=0 sau (a + b + c + d)^2 = 0 si cum prin enunt a + b + c + d = 0 rezulta egalitatea de mai sus este adevarata.