Home/ Intrebari/Q 71302
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

fary
Pe: 2010-12-25T21:36:16+02:00 In: In:

Recapitulare

De la recapitulare: Aflati cel mai mare nr natural, mai mic decat 2010 care are exact 14 divizori. (Mi-au dat mai multe nr)
Si… Cate nr naturale au acelasi nr de cifre atat in baza 2 cat si in baza 3? Dar in baza 5 si baza 6? (Nu prea am avut idei)

Similare

2 raspunsuri

  1. ex-admin
    profesor

    fary wrote: De la recapitulare: Aflati cel mai mare nr natural, mai mic decat 2010 care are exact 14 divizori. (Mi-au dat mai multe nr)


    Cunosti formula de calcul al numarului divizorilor unui numar natural? Iat-o:

    Avand un numar natural N a carui descompunere in factori primi este N = p_1 ^{n_1 } \cdot p_2 ^{n_2 } \cdot ... \cdot p_k ^{n_k } , numarul divizorilor lui N este egal cu

        \[ \left( {n_1 + 1} \right) \cdot \left( {n_2 + 1} \right) \cdot ... \cdot \left( {n_k + 1} \right) \]

    .

    Cum 14 se poate scrie sub aceasta forma doar ca

        \[ 14 = \left( {1 + 1} \right)\left( {6 + 1} \right) \]

    sau 14=13+1, deducem ca numarul cautat de noi este de forma

        \[ N = a^6 \cdot b \]

    sau

        \[ N = c^{13} \]

    , cu a,b,c numere prime.

    Se observa rapid ca

        \[ 2^{13} > 2010 \]

    , deci a doua varianta cade, iar pentru ca singurele puteri cu exponentul 6 mai mici decat 2010 sunt cele ale lui 2 si 3, rezulta ca ca

    \[ N = 2^6 \cdot b\,\,\,{\rm{sau}}\,\,\,N = 3^6 \cdot b

    Cum N<2010, obtinem prin impartire la 2^6 si respectiv 3^6 ca a este mai mic sau egal decat 31 iar b este mai mic sau egal decat 2. Cele mai mari numere prime sunt deci b=31, respectiv b=2.

    Dintre numerele

        \[ 2^6 \cdot 31 = 1984\, \]

    si

        \[ 3^6 \cdot 2 = 1458 \]

    cel mai mare ste 1984, deci acesta este numarul cerut!

  2. ex-admin
    profesor

    fary wrote: Cate nr naturale au acelasi nr de cifre atat in baza 2 cat si in baza 3? Dar in baza 5 si baza 6? (Nu prea am avut idei)


    Avand un numar natural N, numarul cifrelor sale in baza 2 este egal cu n+1, unde n este cel mai mare numar natural cu proprietatea ca

        \[ 2^n \le N \]

    .

    Analog, numarul cifrelor in baza 3 este k+1, unde k este cel mai mare numar natural cu proprietatea ca

        \[ 3^k \le N \]

    .

    Deducem de aici ca un numar N are tot atatea cifre in baza 2 ca si in baza 3 daca si numai daca exista un numar natural n cu proprietatea ca

        \[ 2^{n - 1} \le N < 2^n \,\,{\rm{si}}\,\,\,3^{n - 1} \le N < 3^n \]

    .

    Dar

        \[ 2^3 < 3^2 ,\,\,2^4 < 3^3 ,\,2^5 < 3^4 ,\,\,...,\,\,2^n < 3^{n - 1} \,\,\forall n \ge 3 \]

    , astfel ca singurele posibilitati sunt:

        \[ 2^0 \le N < 2^1 \,\,{\rm{si}}\,\,\,3^0 \le N < 3^1 \Rightarrow N = 1 \]

    si

        \[ 2^1 \le N < 2^2 \,\,{\rm{si}}\,\,\,3^1 \le N < 3^2 \Rightarrow N = 3 \]

    .

    Sa nu-l uitam insa si pe numarul 0 (care se scrie cu o singura cifra in orice baza de numeratie). Astfel numerele naturale care au proprietatea din enunt sunt 0, 1 si 3.

Raspunde

Raspunde