Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
1.Aratati ca numarul 2^2010+1 e divizibil cu 41 iar numarul 2^2010-1 e divizibil cu 341.
2.Aflati restul impartirii numarului N=4^2009 +4^2010 la 17.
3.Gasiti 7 numere consecutive cu care se divide suma S=4+4^2+4^3 +……+4^2010.
Multumesc anticipat.
2^20 da restul 1 la impartirea cu 41, 20 fiind numarul nenul minim cu aceasta proprietate, si deci resturile puterilor lui 2 la impartirea cu 41 se repeta din 20 in 20. Deoarece 2010 da restul 10 la impartirea cu 20 rezultaca restul lui 2^2010 la impartirea cu 41 este acelasi cu restul lui 2^10 la impartirea cu 41 adica este egal cu 40 si deci
2^2010+1 este divizibil cu 41.
2^10 da restul 1 la impartirea cu 341, 10 fiind numarul nenul minim cu acesta proprietate, si deci resturile impartirii puterilor lui 2 la 341 se repeta din 10 in 10. Deoarece 2010 se divide cu 10 rezulta ca restul impartirii lui 2^2010 la 341 este acelasi cu restul impartirii lui 2^10 la 341 adica este egal 1 si deci 2^2010-1 este divizibil cu 341
4^4 da restul 1 la impartirea cu 17 , 4 fiind exponentul nenul minim cu acesta proprietate si deci restul impartirii puterilor lui 4 la 17 se repeta din 4 in 4. Deaorece 2009 da restul 1 la impartirea cu 4 iar 2010 da restul 2 la impartirea cu 4 rezulta ca restul impartirii numarului din enunt la 17 este acelasi cu restul impartitii lui 4^1+4^2 la 17 adica este egal cu 3.
Avem ca suma din enunt se divid ein mod evident cu 1;2;4.
Pe de alta parte pentru orice n numar natural avem ca
4^n+4^(n+1)+4^(n+2)=4*n(1+4+16)=4^n*21 este divizibil cu 3 si deci suma a oricaror 3 puteri consecutive ale lui 4 este divizibila cu 3 si cu 7 deoarece 2010 este divizibil cu 3 rezulta ca
(4+4^2+4^3)+(4^4+4^5+4^6)+…+(4^2008+4^2009+4^2010) se divide cu 3 si cu 7. Deoarece se divide cu 2 si cu 3 rezulta ca se divide si cu 6.
Pe de alta parte, pentru orice n numar natural avem ca 4^n+4^(n+1)=5*4^n se divide cu 5.
Deci (4+4^2)+(4^3+4^4)+…+(4^2009+2^2010) se divider si cu5
La punctul 1: (2^2010+1 este divizibil cu 41), observam ca este destul de greu de gasit puterea necesara rezolvarii exercitiului, practic in concurs este imposibil. Iata ce am inteles eu: Trebuie demonstrat ca 2^2010+1 =k*41 (K nr. natural notat arbitrar , nu conteaza valoarea , este un factor de multiplicare a lui 41).
Pornind de la 2^20=k41+1 si 2^40=(2^20)^2=(k41+1)* (k41+1)=K41*( K41+2)+1=k1*41+1 putem extrapola la 2^2000=(2^20)^100=k2*41+1
Si cum 2^10=k3*41+40 rezulta 2^2010=(2^2000)* (2^10)= (k2*41+1)* (k3*41+40)=k4*41+40 iar 2^2010+1= k4*41+40+1= (k4+1)* 41=k5*41 deci 2^2010 este multiplul numarului 41.