Ma poate ajuta cineva cu urmatoarele probleme?
1.Sa se determine a ∈ R pentru care functia f:R->R, f(x)=ax^2+2x+4 este bijectiva.
Ca o functie sa fie bijectiva trebuie sa fie atat injectiva cat si surjectiva.Dar nu stiu de unde sa incep si ce sa fac.
La scoala ne-a spus sa ne legam de monotonia functiei,dar tot nu pricep.
Daca a > 0 atunci functia are un punct de minim ,iar daca a<0 functia are un punct de maxim.
2.Sa se determine domeniul de existenta pentru:
a) E(x)=radical din x- radical din x (sub acelasi radical)
b) E(x)=log baza 1-x din (x^2-3x)
2)-a) E(x)=
>,=0 = >x>,=
.Se ridica la patrat;
Cantitatea e sub radical trebuie sa fie pozitiva.
Deci X>,=0 (1)
x-
X^2-x>,=0 x1=0;x2=1
Se va tine cont de semnul funcyiei de grd 2 cu a=1>0.intre radacini expresia va avea semn contrar lui a deci pt xe(0,1) , x^2-x<0
Pt xeR\(0,1) x^2-x>0 xe(R\(0,1) (2)
Se intersecteaza (1) cu (2) si se obtine;xe{0}U[1,oo)
b) se vor pune comditiile de existenta a logaritmilor:
– baza strict pozitiva si =/=1 1-x>0 => x<1 x=/=0 (1)
-argumentul x^2-3x>0 x^2-3x=0 x1=0, x2=3
Xe(-oo,0)U(3,+oo)
Se intersecteaza (1) cu (2) si se obtine xe(-oo,0)
Multumesc mult.
Pt a raspundela aceasta intrebare vom scrie mai intai functia f sub forma canonica (se da a factor comun si se regrupeaza convenabil termenii din paranteza)
f(x)=a*(x+b/2a)^2-D/4a (I) D determinantul =b^2-4ac
Cazul 1 a>0
R
Surjectivitatea
Observam ca pt x=-b/2a funcia f ia valoarea minima intrucat (..) se anuleaza. Deci f(-b/2a)=-D/4a aceasta e val minima a functiei (vezi fig 1- atasament).Pt oricare x=/=-b/2a f(x)>f(-2a)=-D/4a Deci putem
spune ca f(x)>f(-b/2a) pt
Am identificat multimea valorilor functiei f (Imf)
Deci f:R–>(-D/4a,+oo) e o functie surjectiva pt ca codomeniul este egal cu multimea valorilor functiei(poti evidentia acest lucru ducand o paralela
la axa Ox care va intersecta graficul functiei in cel putim 1 punct).
Injectivitatea
Pt aceasta vom analiza cazuerile
a) X1 <X2<-b/2a<=>
X1-b/2a<x2-b/2a <=>
(x1-b/2a)^2>(x2-b/2a)^2 pt ca prima paranteza in val absoluta e > decat cea de-a 2 paranteza.
In inegalitatea de mai sus scadem -D/4a si obtinem:
(…)^2-D/4a>(…)^2-D/4a
adica f(x1)>f(x2) =>. f este strict descrescatoare pe intervalul (-oo,-b/2a)
adica este strict monotona pe acest interval.dar exista o teorema care afirma ca functiile strict monotone sunt injective, deci f este injectiva pe acest interval .Deci
f:(-oo,-b/2a)–>(-D/4a,+ oo) este injectiva, surjectiva deci bijectiva
caz b)
-b/2a<x1<x2
x1-b/2a<x2-b/2a => (x1-b/2a)^2>(x2-b/2a)^2 scadem -d/4a si constatam ca f(x1)<f(x2) deci f strict crescatoare ,deci f strict monotona pe (-b/2a, +oo) =. f injectiva pe acest interval
In concluzie f:(-b/2a)–>(-D/4a, +oo) injectiva suejectiva deci bijectiva
analog vei analiza si tu cazul a<0
f(X1)<f(x2) Functia f
atasament
f este bijectivă <=>f este strict monotonă.
, este strict monotona pe intervalele ( – ∞, -b/2a] şi [ -b/2a, ∞)
Funcţia de gradul al doilea