Home/ Intrebari/Q 71248
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Robear
user (0)
Pe: 2010-12-15T18:00:51+02:00 In: In:

Integrala, arie subgrafic.

Fie funcţia f(x):[0..1]->R f(x)=x-x^2
şi g(x)=mx
Să se determine acel m pentru care g(x) împarte subgraficul lui f(x) în două suprafeţe egale. Mersi mult

Similare

4 raspunsuri

  1. ex-admin
    profesor

    Aflam mai intai abscisa punctului de intersectie a graficelor celor doua functii:

        \[ f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow x - x^2 = mx \Leftrightarrow x^2 = x\left( {1 - m} \right) \Leftrightarrow x = 0\,{\rm{ sau }}x = 1 - m \]

    Desigur ca si originea sistemului de axe este punct comun al celor doua grafice, dar noi ne referim la celalalt punct. Asadar

        \[ x = 1 - m \]

    .

    Inca de la inceput trebuie sa mai impunem conditia ca acest punct sa fie in intervalul (0,1):

    \[ 1 - m \in \left( {0,1} \right) \Leftrightarrow m \in \left( {0,1} \right) .

    In fine, este evident ca graficul functiei f este pe intregul interval (0,1) deasupra axei Ox, iar cele doua suprafete in care este impartit subgraficul lui f de catre graficul lui g au ariile S1 si (S2+S3), unde:

        \[ \begin{array}{l} S_1 = \int\limits_0^{1 - m} {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)\,\,} dx \\ S_2 + S_3 = \int\limits_0^{1 - m} {g\left( x \right)\,} dx + \int\limits_{1 - m}^1 {f\left( x \right)\,} dx \\ \end{array} \]

    Din conditia

        \[ S_1 = S_2 + S_3 \]

    , dupa calculul integralelor (foarte simple) afli m -ul. Succes!

    Attached files

  2. Robear
    user (0)

    Sunt complet de acord. Eu am rezolvat pe foaie, rezultatele mele sunt identice. Mă interesează care este valoarea exactă a lui m.
    Eu am calculat aria subgraficului pentru x-x^2 şi am găsit că e egală cu 1/6 deci am dedus că integrala de la 0 , la 1-m din (x-x^2-mx) trebuie să fie egală cu 1/12. De aici l-am calculat pe m. Vreau , dacă nu este prea mult să cer, să găsiţi valoarea lui m, metoda de rezolvare îmi este clară . VĂ mulţumesc mult pentru răspuns. Nu vreau să vă spun răspunsul meu , din motive de obiectivitate.

    PS: Mai clar S1=1/12

  4. ex-admin
    profesor

    Robear wrote: Sunt complet de acord. Eu am rezolvat pe foaie, rezultatele mele sunt identice.


    Stimate Robear, inteleg ca munca mea a fost inutila (cel putin in ceea ce te priveste). Tocmai pentru a evita astfel de situatii extrem de neplacute, am introdus in http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=3299 regula nr. 9:

    La orice problema la care se cere ajutor, solicitantul va trebui sa dea detalii asupra ideilor, incercarilor si realizarilor sale.
  5. ex-admin
    profesor

    Robear wrote: am dedus că integrala de la 0 , la 1-m din (x-x^2-mx) trebuie să fie egală cu 1/12. De aici l-am calculat pe m. Vreau , dacă nu este prea mult să cer, să găsiţi valoarea lui m, metoda de rezolvare îmi este clară . VĂ mulţumesc mult pentru răspuns. Nu vreau să vă spun răspunsul meu , din motive de obiectivitate.

    Inteleg ca tu ai rezolvat problema, si doresti doar sa ti se confirme daca rezultatul obtinut este corect. Trebuia sa ne fi spus de la inceput acest lucru, si trebuia sa ne fi spus rezultatul tau.

    Iata finalizarea rezolvarii:

        \[ \begin{array}{l} \int\limits_0^{1 - m} {\left( {x - x^2 - mx} \right)\,dx} = \frac{1}{{12}} \Rightarrow \left. {\left( {\frac{{x^2 }}{2}\left( {1 - m} \right) - \frac{{x^3 }}{3}} \right)\,} \right|_0^{1 - m} = \frac{1}{{12}} \Rightarrow \\ \Rightarrow \frac{{\left( {1 - m} \right)^2 }}{2} \cdot \left( {1 - m} \right) - \frac{{\left( {1 - m} \right)^3 }}{3} = \frac{1}{{12}} \Rightarrow \\ \Rightarrow \left( {1 - m} \right)^3 \cdot \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{{12}} \Rightarrow \\ \Rightarrow \left( {1 - m} \right)^3 = \frac{1}{2} \Rightarrow \\ \Rightarrow 1 - m = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}} \Rightarrow \\ \Rightarrow m = 1 - \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}. \\ \end{array} \]

Raspunde

Raspunde