Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
1. Gasiti aria domeniului marginit de graficul functiei
axa Ox si dr. de ec.
2. Fie functia . Aflati aria delimitata de graficul functiei lui
, axa Ox si dreptele
.
3.Daca aratati ca f e inversabila si gasiti aria delimitata de graficul functiei inverse
, axa Ox si dr. de ec.
.
1.Esti sigura ca dreptele sunt x=0 si x=2?dx)
. Facem schimbarea de variabila =t+e^t)
, de unde avem )
si dt)
.}^{f^{-1}(1+3)}f^{-1}(f(t))(1+e^t)dt)
.=1)
si =1+e)
, deci integrala devine dt=\int_0^1(t+te^t)dt=\frac{t^2}{2}|_0^1+\int_0^1(e^t)'tdt=\frac12+e^tt|_0^1-\int_0^1e^tdt=\frac12+e-e^t|_0^1=\frac12+e-e=\frac12)
=x-e^x)
, altfel aria ar fi exprimata cu functia Lambert W. Observam ca functia este strict crescatoare, fiind suma de functii strict crescatoare. Rezulta ca functia este injectiva. De asemenea, =-\infty)
si =\infty)
(asta insemnand limitele;daca nu stii sa calculezi aceste limite, iti pot explica cum sa le faci), deci functia ia toate valorile din R, deci este si surjectiva. Rezulta ca este inversabila.
2.Aria ceruta este
Integrala devine
Observam ca
3.Presupun ca functia este de fapt
Aria se calculeaza la fel ca la 2.
Buna!
Oare ai putea sa ma lamuresti cu niste aspecte?
– acolo t=f^-1(x) de ce? presupun ca are legatura cu inversa sau..?
– si la randul al treilea cu capetele alea nu stiu de unde sunt:))
Am scris din greseala t in loc de e pe randul 4. Ideea este urmatoarea. Aici,
este inversa functiei f, nu f la puterea -1.
Daca avem integraladx)
, atunci se poate demonstra(chiar destul de usor;daca doresti sa vezi aceasta demonstratie, ti o pot scrie), ca pentru o functie g(ce satisface anumite conditii, care nu ne intereseaza aici), ca acea integrala este egala cu }^{g^{-1}(b)}f(g(x))g'(x)dx)
. (1)
Este usor de observat ca, in aceasta a 2a integrala, putem face schimbarea de variabila)
, pentru a ajunge la integrala originala. Considerand substitutia obisnuita )
, aceasta este identica cu substitutia )
.
In cazul nostru, aveam integrala din)
. Noi nu stim cat este inversa lui f, asa ca incercam sa scapam de ea. Facem asta folosind ceea ce am mentionat mai sus(adica echivalenta acelor 2 integrale, pe care am notat o cu (1)), unde f(x) este )
si )
este )
.