Se considera un grup (G,*) cu proprietatea ca exista m,n apartin multimii numerelor naturale fara 0, (m,n)=1, astfel incat 
si 
x si y aratin lui G. Sa se arate ca (G,*)-grup comutativ.
AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Se considera un grup (G,*) cu proprietatea ca exista m,n apartin multimii numerelor naturale fara 0, (m,n)=1, astfel incat si x si y aratin lui G. Sa se arate ca (G,*)-grup comutativ.
daca m si n sunt numere intregi prime intre ele atunci exista k;l intregi astfel incat m*k+n*l=1
Avem ca (xy)^m=(yx)^m de unde rezulta((xy)^m)^k=((yx)^m)^k de unde rezulta (xy)^(m*k)=(yx)^(m*k) (1) .
De asemenea din (xy)^n=(yx)^n de unde rezulta
((xy)^n)^l=((yx)^n)^l de unde rezulta ca
(xy)^(n*l)=(yx)^(n*l) (2)
Din relatiile (1) si (2) rezulta ca
(xy)^(m*k+n*l)=(yx)^(m*k+n*l) de unde rezulta ca
(xy)^1=(yx)^1 de unde rezulta xy=yx si deci G este abelian
Va multumesc mult pentru solutie, eu nu speculam acel lucru legat de doua numere prime.
, 
apartine multimii (n,n+1,n+2}, atunci G este grup comutativ.
Insa as mai avea de nevoie de ajutor la o alta problema. Fie (G,*) grup. Daca exista n apartinand numerelor naturale diferite de 0, astfel incat pentru oricare x,y apartinand lui G,
In acest caz am scris legea de compozitie detaliat, am simplificat la dreapta si la stanga, insa la un moment dat nu se mai poate simplifica nimic. De asemenea, prin inductie nu am reusit sa arat ca P(k+1)=
(x*y)^n=x^n*y^n / *(x*y)
(x*y)^(n+1)=x^(n+1)*y^(n+1)
Daca le egalam => (x*y)^(n+1)=x^(n+1)*y^(n+1)=x^n*y^n*x*y. Simplificam prin x^n in stanga =>x*y^(n+1)=y^n*x*y Simplificam prin y la dreapta =>x*y^n=y^n*x
(x*y)^(n+1)=x^(n+1)*y^(n+1) / *(x*y)
(x*y)^(n+2)=x^(n+2)*y^(n+2). Daca urmam acelasi procedeu => x*y^(n+1)=y^(n+1)*x
(x*y)^n=x^n*y^n / *(x*y*x*y)
(x*y)^(n+2)=x^(n+2)*y^(n+2). Idem =>x^2*y^(n+1)=y^n*x*y*x
y^n*x*y*x=x*y^n*y*x=x*y*y^n*x=x*y*x*y^n=x^2*y^(n+1) =>x*y*x=x^2*y =>x*y*x=x*x*y Inmultim cu x^(-1) la stanga si obtinem
x*y=y*x Q.E.D.
Sau dupa ce am obtinut ca pentru orice x;y din G avem ca
x*(y^n)=(y^n)*x si x*(y^(n+1))=(y^(n+1))*x de unde rezulta ca
pentru orice x si pentru orice y din G avem ca y^n si Y^(n+1) apartin subgrupului C(x) al elementelor care comuta cu x
Dar n si n+1 sunt prime intre ele si deci exista l;k intregi astfel incat
n*k+(n+1)*l=1
deci y=y^(n*k+(n+1)*l))=((y^n)^k)*((y^(n+1))^l) si deci pentru orice
x;y din G avem ca y este in C(x), deci pentru orice x din G C(X)=G deci G este abelian.
Problema se poate generaliza in felul urmator:
Fie G un grup si n si k doua numere naturale nenule.
Daca pentru orice x;y din G avem relatiile
(x*y)^n=(x^n)*(y^n); (x*y)^(n+1)=(x^(n+1))*(y^(n+1)) si
(x*y)^(kn+2)=(x^(kn+2))*(y^(kn+2)) atunci G este abelian.
Observatie: pentru k=1 se obtine enuntul cazului particular aferent problemei mai sus mentionate.
Solutie pentru generalizare
Asa cum a fost aratat in postarile anterioare, din relatiile
(x*y)^n=(x^n)*(y^n); (x*y)^(n+1)=(x^(n+1))*(y^(n+1))
rezulta ca pentru orice x;y din G avem ca x*(y^n)=(y^n)*x
Deci pentru orice y din G, y^n comuta cu orice element x din G.
Rezulta ca pentru orice y din G y^(kn) comuta cu orice element x din G
Avem ca
(x*y)^(kn+1)=(x*y)^(kn)*(x*y)=
=((x*y)^n)*…*((x*y)^n)*(x*y)=
=((x^n)*(y^n))….((x^n)*(y^n))*(x*y)=
=(x^kn)*(y^kn)*(x*y)=x^(kn+1)*y^(kn+1)
Deci (x*y)^(kn+1)=x^(kn+1)*y^(kn+1)
Pe de alta parte din enunt avem ca
(x*y)^(kn+2)=(x^(kn+2))*(y^(kn+2))
Din ultimele doua relatii rezulta ca pentru orice y din G
y^(kn+1) comuta cu orice element x din G. Dar mai stim ca pentru orice y din G y^n comuta cu orice element x din G .
Deoarece n si kn+1 sunt prime intre ele rezulta ca G este abelian.
Se poate formula si urmatoarea problema :
Fie G un grup si n si k doua numere naturale nenule.
Daca pentru orice x;y din G avem relatiile
(x*y)^n=(x^n)*(y^n); (x*y)^(n+1)=(x^(n+1))*(y^(n+1)) si
(x*y)^(kn-1)=(x^(kn-1))*(y^(kn-1)) atunci G este abelian.
Demonstratia este analoaga cu demonstratia generalizarii
De unde ai luat problema ?
Cam asa ceva
Ar mai fi niste probleme/problematici care deriva din aceasta problema.
Daca spunem despre un numar natural nenul a ca are proprietatea P raportata la un anume grup G daca (x*y)^a=(x^a)*(y*a) pentru orice x;y din G atunci ne putem pune urmtoarele probleme
1) Care sunt numerele nturale a astfel incat daca exista a cu proprietatea P raportata la un geup G atunci G este abelian. (a=1 si a=2 sunt raspunsuri favorabile. Mai exista si alte valori?)
2) Care sunt perechile de numere naturale nenule (a;b) pentru care
daca a si b au proprietatea P raportata la un grup G rezulta ca G este abelian si in plus exista grupuri pentru care a sa aiba proprietatea P dar care nu fsunt abeliene si exista grupuri pentru care b are proprietatea p care nu sunt abeliene?
3) Care sunt tripletele de numere naturale nenule pentru care daca a,b,c au proprietatea p rezulta ca G este abelian dar daca renuntam la proprietatea P pentru unul dintre oricare dintre cele trei numere exista grupuri neabeliene pentru care celelalte doua numere au proprietatea P?
4) Mai general care sunt cuplurile de numere naturale nenule a(1);a(2);…;a(k) pentru care daca a(1);a(2);,..,a(k) au proprietatea P rezulta ca G este abelian dar pentru care daca renuntam la proprietatea P pentru oricare dintre numerele a(1);a(2);…;a(k) exista grupuri neabeliene pentru care celelalte k-1 numere au proprietatea P ?
Va multumesc mult pentru solutii. Problema am gasit-o intr-o culegere mai veche, scrisa tot de Nastasescu.
Zi-mi te org exact numele culegerii, nr. problemei si pagina. Multumesc.
Din pacate nu va pot preciza detaliile cerute deoarece problema a fost data de profesorul meu de matematica la o simulare pentru bacalaureat si singura mentiune pe care a facut o a fost ca exercitiul poate fi gasit intr o culegere a lui Nastasescu.