Home/ Intrebari/Q 70050
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Aducelbatran
Pe: 2010-08-26T07:42:59+03:00 In: In:

Tot geometrie

Se dau varfurile A(-10,2) si B(6,4) ale unui triunghi ale carui inaltimi se intersecteaza in punctul H(5,2). Sa se determine coordonatele celui de-al treilea varf al triunghiului precum si aria triunghiului.

Nu am nicio idee la problema asta. Daca se poate niste detalii amanuntite ar fi binevenite

Similare

5 raspunsuri

  1. sindex

    Figura e urmatoarea:


    Am luat unitatea de jumatate de cm.
    Cum am facut:
    1.L-am prelunghit pe AH si pe BH pentru ca ele fac parte din cele 2 inaltimi care vor fi perpendiculare pe laturile triunghiului.
    2.Din B am trasat perpendiculara pe AH si am obtinut punctul D.
    3.Din A trasezi o perpendiculara la BH si obtii punctul E.
    4.Prelungesti pe AE si BD pana se intersecteaza, intersectia lor fiind punctul C.

  2. sindex

        $${ {\rm{Aflam coordonatele lui D}}{\rm{, pentru asta}}{\rm{, avem nevoie de ecuatiile lui BF si AH}}{\rm{, cu panta nu se poate pentru ca ajungi la un produs ceva }} \cdot {\rm{ 0 = - 1 (imposibil)}} \cr {\rm{Pentru asta avem nevoie si de punctul F (6}}{\rm{,0)}}{\rm{, iar punctul D va fi intersectia lui BF cu AH}}{\rm{.}} \cr} $$

        $$BF:\left| {\matrix{ x & y & 1 \cr 6 & 4 & 1 \cr 6 & 0 & 1 \cr } } \right| = 0 \Rightarrow BF:4x + 6y - 24 - 6y = 0 \Leftrightarrow BF:4x - 24 = 0$$

        $$AH:\left| {\matrix{ x & y & 1 \cr { - 10} & 2 & 1 \cr 5 & 2 & 1 \cr } } \right| = 0 \Rightarrow AH:\left| {\matrix{ {x + 10} & {y - 2} & 0 \cr { - 10} & 2 & 1 \cr {x - 5} & {y - 2} & 0 \cr } } \right| = 0 \Rightarrow ...{\rm{aplici aceea proprietate}}... \Rightarrow AH:\left| {\matrix{ {x + 10} & {y - 2} \cr {x - 5} & {y - 2} \cr } } \right| = 0 \Rightarrow AH:(y - 2)\left| {\matrix{ {x + 10} & 1 \cr {x - 5} & 1 \cr } } \right|$$

        $$ \Rightarrow AH:(y - 2)(x + 10 - x + 5) = 0 \Rightarrow AH:(y - 2) \cdot 15 = 0 \Rightarrow AH:15y - 30 = 0$$

        $${ {\rm{Avem urmatoarele ecuatii:}} \cr \left\{ \matrix{ BF:4x - 24 = 0 \hfill \cr AH:15y - 30 = 0 \hfill \cr} \right. \cr \left. {\left. {D = BF \cap AH \Rightarrow \left\{ \matrix{ 4{x_D} - 24 = 0 \hfill \cr 15{y_D} - 30 = 0 \hfill \cr} \right.} \right| \Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_D} = 6 \hfill \cr {y_D} = 2 \hfill \cr} \right.} \right| \Rightarrow D(6,2) \cr} $$

    De aici nu mai stiu…eu zic ca punctul D e foarte important in problema, incearca si vezi ce poti sa faci cu el. Stiind pe D poti afla inaltimea AD:

        $$AD = \sqrt {{{({x_D} - {x_A})}^2} + {{({y_D} - {y_A})}^2}} = \sqrt {{{(6 + 10)}^2} + 0} = 16$$

    care te va ajuta la arie…

  4. sindex

    Am gasit. Trebuie sa trasezi si cealalta inaltime, o notezi cu CM. Prin urmare desenul arata asa:

    Notezi pe CD cu x.
    Vom afla pe C pornind de la arie.

        $${ {A_{ABC}} = {{AB \cdot CM} \over 2} = {{AD \cdot BC} \over 2} \cr AB = ...{\rm{ca la AD}}...{\rm{ = }}\sqrt {{{16}^2} + {2^2}} = \sqrt {260} \cr CM = MH + HC \cr \left. \matrix{ HC = \sqrt {H{D^2} + D{C^2}} \hfill \cr HD = \sqrt {{{(6 - 5)}^2}} = 1 \hfill \cr DC = x \hfill \cr} \right| \Rightarrow HC = \sqrt {1 + {x^2}} \cr} $$

        $${ {\rm{Il aflam acum pe HM:}} \cr {\rm{H}} \in AB{\rm{, }}HM \bot AB \Rightarrow {m_{HM}} \cdot {m_{AB}} = - 1 \cr \left. \matrix{ {m_{HM}} = {{{y_H} - {y_M}} \over {{x_H} - {x_M}}} \hfill \cr {m_{AB}} = {{{y_B} - {y_A}} \over {{x_B} - {x_A}}} \hfill \cr} \right| \Rightarrow {{2 - {y_M}} \over {5 - {x_M}}} \cdot {2 \over {16}} = - 1 \Rightarrow {{2 - {y_M}} \over {5 - {x_M}}} = - 8 \Rightarrow 2 - {y_M} = - 40 + 8{x_M} \Leftrightarrow - 8{x_M} - {y_M} + 42 = 0 \Leftrightarrow 8{x_M} + {y_M} - 42 = 0 \cr} $$

        $${ {\rm{Dar M }} \in {\rm{ AB }}{\rm{. Vom afla ecuatia dreptei AB}} \cr AB:\left| {\matrix{ x & y & 1 \cr { - 10} & 2 & 1 \cr 6 & 4 & 1 \cr } } \right| = 0... \Rightarrow AB:2x + 6y - 40 - 12 - 4x + 10y = 0 \Rightarrow AB: - 2x + 16y - 52 = 0 \Leftrightarrow AB:x - 8y + 26 = 0 \cr} $$

  5. sindex

        $${ {\rm{In ecuatia lui AB introduci pe }}{{\rm{x}}_M}{\rm{ si }}{{\rm{y}}_M}{\rm{ si creezi sistemul:}} \cr \left\{ \matrix{ {x_M} + {y_M} - 42 = 0 \hfill \cr {x_M} - 8{y_M} + 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 8{x_M} + {y_M} = 42 \hfill \cr {x_M} - 8{y_M} = - 26 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 64{x_M} + 8{y_M} = 336 \hfill \cr {x_M} - 8{y_M} = - 26 \hfill \cr} \right. + \Rightarrow 65{x_M} = 310 \Rightarrow {x_M} = {{310} \over {65}} = {{62} \over {13}} \cr {x_M} = {{62} \over {13}} \Rightarrow {y_M} = ...calculezi \cr {\rm{Stiind coordonatele lui M si lui H}}{\rm{, cu formula pentru distanta dintre 2 puncte}}{\rm{, aflii distanta HM iar CM = HM + HC}}{\rm{, HC fiind }}\sqrt {1 + {x^2}} \cr \cr \left. \matrix{ BC = BD + DC = BD + x \hfill \cr {\rm{Aflam pe BD: BD = }}...{\rm{ca la AD}}...{\rm{ = }}\sqrt {{2^2}} = 2 \hfill \cr} \right| \Rightarrow BC = 2 + x \cr {\rm{Intr - un final apoteotic}}{\rm{, trebuie sa ajungi la urmatoarea egalitate: }}{{\rm{A}}_{ABC}} = {{AB \cdot CM} \over 2} = {{AD \cdot BC} \over 2} \Leftrightarrow \sqrt {260} \cdot (HM + \sqrt {1 + {x^2}} ) = 16 \cdot (2 + x) \cr {\rm{Aflandu - l pe HM mai sus}}{\rm{, il bagi in relatie si il aflii pe x}}{\rm{, x fiind CD}}{\rm{. Aflii aria triunghiului iar apoi aflii si coordonatele lui C folosind formula pentru arie cu determinant:}} \cr {{\rm{A}}_{ABC}} = {{|\left| {\matrix{ {{x_A}} & {{y_A}} & 1 \cr {{x_B}} & {{y_B}} & 1 \cr {{x_C}} & {{y_C}} & 1 \cr } } \right||} \over 2} = {{|\left| {\matrix{ { - 10} & 2 & 1 \cr 6 & 4 & 1 \cr 6 & {{y_C}} & 1 \cr } } \right||} \over 2} = ... \cr {\rm{Observi ca ai nevoie doar de }}{{\rm{y}}_C}{\rm{. il stiim deja pe }}{{\rm{x}}_C}:{\rm{ BD fiind de ecuatie : 2x - 12 = 0}}{\rm{, }}{{\rm{x}}_C} = 6 \Rightarrow 12 - 12 = 0(A){\rm{ deci }}{{\rm{x}}_C} = 6 \cr {\rm{Spor la aflarea lui HM}}{\rm{, el e cheia}}{\rm{.}} \cr} $$

    Problema a fost destul de grea…mai amnuntit de atat nu am putut, sper sa intelegi, daca cineva are o rezolvare mai scurta, sa o posteze.

  6. Sigma2
    maestru (V)

    sindex

    Pt ca rezolvarea ta e cam stufoasa iti propun urmatoarea varianta
    iau de buna calculul tau yAB=x/8+26/8
    Determin Y HM =m1x+n1 =-8 =>m1=-8. n1 se afla din sistenul
    y=x/8+13/8
    y=-8x+n1 (1)

    Mai departe observi AH//Ox( A , H au aceiasi ordonata 2)
    Cum BC_l_AH =>BC _l_Oy Dreapta BC are ecuatia x=2
    Vei afla pozitia punctului C intersectand aceasta cu dreapta de la (1)

Raspunde

Raspunde