Home/ Intrebari/Q 69916
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

sindex
Pe: 2010-07-27T18:47:52+03:00 In: In:

Subiectul de analiza – Admitere Matematica UB – DL MATE

Anul acesta, la analiza s-a dat urmatorul subiect:

1) Fie functia

    $$f:(0,\infty ) \to R, f(x) = {{x\ln x - 1} \over x},\forall x > 0$$

. Cerintele erau:
a)Monotonia functiei
b)Asimptotele la graficul functiei
c)Se def sirul :

    $$\{ {({x_n})_{n \in N}} \cr {x_0} > e \cr {x_{n + 1}} = {x_n}f({x_n}) + 1 \cr $$

Sa se calculeze

    $$ {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n}$$

2) Fie

    $${I_n} = \int\limits_0^1 {{{{x^n}} \over {{x^n} + 1}}} dx$$

, unde n este numar natural nenul.
a)Sa se calculeze:

    $${I_1},{I_2}$$

b)Sa se arate ca

    $$\{ {I_n} < 1 \cr {I_{n + 1}} < {I_n} \cr $$

La primul subiect, cel legat de functie, nu am avut nicio dificultate la monotonie si asimptote (functia e strict crescatoare iar asimptota este una singura, cea verticala, x=0. La ce m-am incurcat a fost limita sirului ❗ Mie mi-a dat „e”, iar pe barem limita era infinit.

La al doilea subiect, calculul celor 2 integrale a fost o banalitate, la fel si cerinta

    $${I_n} < 1$$

. Ce mi-a facut probleme a fost

    $${I_{n + 1}} < {I_n}$$

🙁 . Demonstrasem ca I2<I1, ma apucasem sa arat si ca I3<I2 insa nu am mai avut timp iar pe foaie am scris doar ca In+1<In pentru ca I2<I1 (ceea ce a fost incomplet)

Ce va rog eu pe voi, aratati-mi si mie cum se calcula limita sirului si demonstratia

    $${I_{n + 1}} < {I_n}$$

. Ei pe barem au publicat doar raspunsurile, nu si rezolvarile.

Multumesc!

Similare

4 raspunsuri

  1. Sigma2
    maestru (V)

    Daca erai in criza de timpm puteai evita inductia folosind urmatoarea metoda

    In+1-In=\int_{o}^{1}\{x}^{n+1}/(\{x}^{n+1}+1)-
    \{x}^{n}/(\{x}^{n}+1))dx[/tex]=

    –\int_{0}^{1}(\{x}^{n}–\{x}^{n+1})/(\{x}^{n+1}+1)*([tex]\{x}^{n}+1)dx

    Functia de sub integrala e pozitiva pe [0,1] .Aplici teorema
    Daca f(x)>0, atunci \int_{a}^{b}f(x)dx>0
    Deci integrala e pozitiva si cu (-) dinainte devine negativa.
    Adica In+1-In<0 …

  2. Sigma2
    maestru (V)

    Avem relatiile:

    1)f(x)=\frac{xlnx-1}{x} (I)

    2)xo>e (II)

    3)xn+1=xn*f(xn)+1 (lll)

    Rezolvare

    f(xo)=\frac{e*lne-1}{e}=\frac{e-1}{e}

    x1=x0*f(xo)+1>e*f(e)+1=e deci x1>e

    Prin inductie vom arate ca xn>e

    Din relatiile (I) si (lll) rezulta
    xn+1=xn*lnxn <=>

    \frac{xn+1}{xn}=lnxn

    Se trece la limita si tinand cont ca xn>e

    lim\frac{xn+1}{xn}=limlnxn n->+oo <=>

    lim\frac{xn+1}{xn}>1

    Deci conform criteriului raportului xn->+oo

  4. sindex

    Multumesc mult!

  5. Sigma2
    maestru (V)

    Cu placere.

Raspunde

Raspunde