Fie a,b,c numere reale strict pozitive, diferite de 1 si x,y,z numere reale astfel incat a^x=bc, b^y=ca, c^z=ab
Sa se arate ca xyz – x – y – z=2.
Am incercat sa scriu x,y si z ca logaritmi si sa introduc in ecuatie, insa nu am ajuns la vreun rezultat. Si trebuie folosita regula lui Cramer, dar nu imi dau seama cum.
Se observa ca a^x*b^y*c^z=(abc)^2
Logaritmezi ambii membrii in baza a*b*c si obtii
log[abc]a^x*b^y*c^z=2 unde log[abc]…=logaritm in baza abc din…
x*log[abc]a+ylog[abc]b+zlog[abc]c=2 <=>
x/log[a]abc+y/logb]abc+z/log[c]abc=2 <=>
x/(1+log[a]bc)+y/(1+logac)+z/(1+log[c]ab) si tinand cont de relatiile date ,faci substitutiile si obtii:
x/(1+x)+y/(1+y)+z/(1+z)=2
Aduci la acelasi numitor
x(1+y)*(1+z)+y*(1+x)*(1+z)+z*((1+x)*(1+y)=2*(1+x)*(1+y)*(1+z)
desfaci parantezele etc