Se considera sirul x(n) cu n natural :
x(n)= integrala de la 0 la n din sinx*sin(x/2^2)*…*sin(x/n^2)*dx
Sa se arate ca limita cand n->infinit din n^k *x(n)=0 pentru orice k natural nenul.
Am rezolvat exercitiul dar cred ca am facut-o ‘fraudulos’.
Vreau o confirmare, sa stiu daca l-am rezolvat bine sau nu.
f(x)=sinx*sin(x/2^2)*…*sin(x/n^2)
x (n)=F(n)-F(0)
F o primitiva a functiei f
limita cand n->infinit din n^(k+1)* [F(n)-F(0)]/(n-0)=limita cand n->infinit din n^(k+1) * f(0) = limita cand n->infinit din n^(k+1) * 0 = 0 !!!!
Aici consider ca am gresit dar totusi pare ok
O alta idee ar fi sa punem in loc de f(0) limita cand x->0 din f(x)
Si ne da f(x)< x^n / (n!)^2 cu x->0
x^n*n^(k+1)/(n!)^2=x^n*n^(k+1)/4^n deoarece n!>2^n ptr orice n>=4
f(0) = F'(0) este limita fractiei [F(n)-F(0)]/(n-0) daca n->0, nu pentru n->infinit !!!
Dar oare, chiar sa nu conteze absolut deloc formula functiei f(x)? Rezolvarea ta ar merge pentru orice functie f, eventual continua, nu?
Multumesc ptr ca m-ai corectat. Chiar nu-mi gaseam greseala. Ma chinui demult la prb asta. Imi pare rau dar altceva nu se stie despre functia asta.
Eu am facut notatia cu functia ea nu exista de fapt.