Home/ Intrebari/Q 69414
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Agent-Bond
user (0)
Pe: 2010-02-11T09:43:15+02:00 In: In:

demonstratie

Daca a,b,x apartine R, aratati ca:
a) |a*sinx+b*cos x|< radical din (a^2+b^2)
b) 2^sin x * 3^cos x<4, (V) x apartine R

Similare

4 raspunsuri

  1. Agent-Bond
    user (0)

    am ajuns la:
    |2ab|< a^2+b^2

    • 0
  2. ex-admin
    profesor

    Agent-Bond wrote: Daca a,b,x apartine R, aratati ca:
    a) |a*sinx+b*cos x|< radical din (a^2+b^2)


    Se poate aplica binecunoscuta inegalitate Cauchy-Buniakowski-Schwarz:

        \[ \left( {ax + by} \right)^2 \le \left( {a^2 + b^2 } \right)\left( {x^2 + y^2 } \right) \]

    .

    Avem:

        \[ \left( {a \cdot \sin x + b \cdot \cos x} \right)^2 \le \left( {a^2 + b^2 } \right)\underbrace {\left( {\sin ^2 x + \cos ^2 x} \right)}_1 \]

    .

    • 0
  4. ex-admin
    profesor

    Agent-Bond wrote: am ajuns la:
    |2ab|< a^2+b^2


    Nu stii cum sa scapi de modul? Ei bine,

    \left| x \right| < M \Leftrightarrow - M < x < M , pentru M>0.

    • 0
  5. ex-admin
    profesor

    Agent-Bond wrote: b) 2^sin x * 3^cos x<4, (V) x apartine R

    Deoarece functia logaritmica de baza 2 este strict crescatoare, putem logaritma inegalitatea data si vom obtine o inegalitate echivalenta:

        \[ \log _2 \left( {2^{\sin x} \cdot 3^{\cos x} } \right) < \log _2 4 \]

    Folosind proprietatile logaritmilor rezulta ca

        \[ \sin x + \cos x \cdot \log _2 3 < 2 \]

    .

    Apeland la inegalitatea CBS avem

        \[ \left( {\sin x \cdot 1 + \cos x \cdot \log _2 3} \right)^2 \le \underbrace {\left( {\sin ^2 x + \cos ^2 x} \right)}_1 \cdot \left( {1^2 + \left( {\log _2 3} \right)^2 } \right) \]

    ,

    astfel ca tot ce ne-a mai ramas de demonstrat este ca

        \[ 1 + \left( {\log _2 3} \right)^2 < 2^2 \]

    .

    Iti las tie placerea de a finaliza.
    Succes!

    • 0
Raspunde

Raspunde