Se da functia
f:[0,2]->R,f(x)=
x-1,daca x ∈ [0,1]
x*ln(x), daca x ∈ (1,2]
Sa se demonstreze ca, pentru orice t∈(0,2) există a,b∈[0,2], a ≠ b, astfel încât integrala de la a la b din f(x)dx = (b-a)*f(t);
Mi`ar prinde bine putin ajutor la problema asta. Va multumesc anticipat
functia f este continua in 1 deci este continua pe [0,2] verifici daca este si derivabila in 1. Daca da esti in con ditii lre Teoremei lui Lagrange
[fb)-f(a)]/(b-a)=f`(c)
I=Integrala de la a la b dif(x) dx=F(b)-F(a) F este o primitiva alui f
Dar conf Teoremei lui Lagrange F(b)-F(a)/b-a=F`(c) pe c il poti nota cu t
si tii cont ca F`(x)=f(x)
deci F(B)-F(a)=(b-a)*f(t) adica I=(b-a)*f(t)
Ms pt ajutor Sigma2 dar tu practic aici ai demonstrat teorema de medie. Ai aratat ca exista un nr real t din (a,b) astfel incat sa se intample egalitatea aia.Cerinta zice ca sa se demonstreze ca pt orice t din (0,2) exista a, b ….
Notam
(L’Hopital
)
si 

deoarece ambele sunt derivabile deci au proprietatea lui Darboux.
pentru
Deci
Problema se poate generaliza pentru orice functie continua
adica 
.Functia F e diferentiabila Frechet.
cu proprietatea lui Darboux(PD) daca
astfel incat 
Se considera
Numim o functie
Consideram apoi ca o functie diferentiabila Frechet are si PD