Home/ Intrebari/Q 69304
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

winterfresh
user (0)
Pe: 2010-01-31T17:31:52+02:00 In: In:

inegalitati demonstrate cu ajutorul inductiei

salut, nu am inteles prea bine cum se aplica inductia la rezolvarea inegalitatilor ,poate ma ajutati la acest ex.

3^( n+1)>=n^4+n^2+1

Multumesc anticipat!

Similare

2 raspunsuri

  1. ex-admin
    profesor

    Sarind peste etapa simpla a verificarii, va trebui sa demonstrezi ca daca 3^{n + 1} \ge n^4 + n^2 + 1 atunci 3^{n + 2} \ge \left( {n + 1} \right)^4 + \left( {n + 1} \right)^2 + 1.

    Dezvolti \[ \left( {n + 1} \right)^4 + \left( {n + 1} \right)^2 + 1 si pentru a te folosi de ipoteza de inductie, pui in evidenta

        \[ n^4 + n^2 + 1 \]

    :

    \left( {n + 1} \right)^4 + \left( {n + 1} \right)^2 + 1 = \underbrace {\left( {n^4 + n^2 + 1} \right)}_{ \le \,3^{n + 1} } + 4n^3 + 6n^2 + 6n + 2

    Cum

        \[ 3^{n + 2} - 3^{n + 1} = 2 \cdot 3^{n + 1} \]

    , va fi suficient sa aratam ca

        \[ 4n^3 + 6n^2 + 6n + 2 \le 2 \cdot 3^{n + 1} \]

    , sau, simplificand prin 2:

        \[ 2n^3 + 3n^2 + 3n + 1 \le 3^{n + 1} \]

    .

    Observand ca membrul stang al inegalitatii se poate scie sub forma

        \[ \left( {n + 1} \right)^3 + n^3 \]

    , ramane sa demonstram ca \left( {n + 1} \right)^3 + n^3 \le 3^{n + 1}.

    Este evident ca aceasta relatie ar fi asigurata daca \left( {n + 1} \right)^3 \le 3^n.

    Asadar am reusit sa reducem problema la o alta problema, mult mai simpla:

    Sa se demonstreze prin inductie ca \left( {n + 1} \right)^3 \le 3^n.

    Asta ar trebui sa iti fie la indemana (si oricum, gasesti ceva asemenator in orice manual).

    • 0
  2. claudya29
    user (0)

    1 la 2 +2 la 2+ 3 la 2+ …+n la 2=n(n+1)(2n+1) totul supra 6

    si al doilea ex este:
    1*2+2*3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2) totul supra 3

    am ajuns pana la demonstratie dar de aici nu ma mai descurc…..🙁:(:?:?:

    • 0
Raspunde

Raspunde