Home/ Intrebari/Q 69148
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

cristina_c
Pe: 2010-01-10T11:39:41+02:00 In: In:

Izomorfisme. Help.

Definim pe multimea G=(-3, + infinit) legea de compozitie „*” prin x*y=xy+3x+3y+6 (x,y apartin lui G )
Demonstrati ca grupurile ( G, * ) si (R, + ) sunt izomorfe.

Cum determin f(x) pt. a aplica in conditia de morfism f(x*y)=f(x)+f(y) ?
Multumesc . 😀

Similare

2 raspunsuri

  1. sindex

    Am gasit ! 🙂
    Rezolvarea este foarte simpla, insa m-am gandit cca 15 minute la cum sa arate aceea functie. Fii atenta:

    1. Ajungi la forma mai simpla a legi ,,*” :

        \[\begin{array}{l} x*y = xy + 3x + 3y + 6 \\ = x(y + 3) + 3(y + 3) - 3 \\ = (x + 3)(y + 3) - 3 \\ \end{array}\]

    2. Te uiti atenta si vezi ca functia respectiva pe care trebuie sa o gasesti, duce o inmultire in adunare. Te gandesti la ce functii uzuale fac acest lucru: functia exponentiala :

        \[{e^x} \cdot {e^y} = {e^{x + y}}\]

    , functia logaritmica:

        \[\ln a + \ln b = \ln ab\]

    3. Functia cautata cea mai convenabila aici este :

        \[f(x) = \ln (x + 3)\]

    Proba:

        \[\begin{array}{l} f(x*y) = f(x) + f(y) < = > f((x + 3)(y + 3) - 3) = f(x) + f(y) \\ f(x) = \ln (x + 3) \\ f(y) = \ln (y + 3) \\ f((x + 3)(y + 3) - 3) = \ln [(x + 3)(y + 3) - 3 + 3] = \ln [(x + 3)(y + 3)] \\ = > \ln [(x + 3)(y + 3)] = \ln (x + 3) + \ln (y + 3) \\ \end{array}\]

    Ceea ce este adevarat pentru ca am spus mai sus ca lnab=lna+lnb

    Deci functia cautata este :

        \[f(x) = \ln (x + 3)\]

    Pentru moment ai gasit morfismul intre grupuri, dar vad ca iti cere izomorfism. Aici cred ca stii, arati ca f(x)=ln(x+3) este bijectiva (injectiva+surjectiva). Si asta e tot 🙂
    Nu cred ca te mai ajuta la ceva rezolvarea acum…e prea tarziu , dar acum mi-am facut si eu cont si am vazut problema 🙂

  2. sindex

    cu \[f]
    Am ales acel interval pentru ca doar pe el se poate defini functia logaritmica.

Raspunde

Raspunde