Sa se demonstreze inegalitatile:
Ca indicatie apare utilizarea teoremei lui Lagrange.
Pentru a) am încercat sa consider o functie pe (0;+inf) f(x)=lnx însă nu prea stiu ce sa fac dupa ce aplic teorema.
Reluand problema mi-am dat seama ca ar trebui sa consider functie pe [x,y] pentru a putea aplica T Lagrange .
Astfel ca am reusit sa o rezolv. ( mi am dat seama si de faptul ca 1/x>1/c>1/y si de aici am reusit usor sa arat inegalitatea)
Ramane insa intrebarea pe ce interval trebuie considerată funcția.
Initial eu am scris ca o consider pe (0,+inf) si dupa am aplicat pe [x;y]. Oare cum s-ar justifica corect?
La b) nu prea am idei..
a)Ne intereseaza functia![f:[x, y]\to R, f(a)=\ln(a)](https://latex.codecogs.com/gif.latex?f:[x,&space;y]\to&space;R,&space;f(a)=\ln(a))
. Desigur, logaritmul este definit pe )
(ba chiar pe R, sau C, se paote extinde logaritmul) dar pe noi ne intereseaza doar acel interval, deoarece dorim sa aplicam Teorema lui Lagrange pe acesta.
b)Presupunem ca n este nenul. Este usor de vazut ca pentru n=0 inegalitatea nu este adevarata.
Fie![f:[a, b]\to R, f(x)=x^n](https://latex.codecogs.com/gif.latex?f:[a,&space;b]\to&space;R,&space;f(x)=x^n)
. f este continua si derivabila pe R, deci si continua pe ![[a, b]](https://latex.codecogs.com/gif.latex?[a,&space;b])
respectiv derivabila pe )
. Atunci exista un )
astfel incat =\frac{f(a)-f(b)}{a-b})
. Daca nu reusesti sa retii pe care interval trebuie sa fie continua si pe care sa fie derivabila, te poti gandi ca daca c-ul din )
se afla in )
, atunci e logic ca functia in sine sa fie derivabila pe acel interval.
Mai departe, folosind faptul ca=nx^{n-1})
, egalitatea devine 
, sau nc^{n-1})
. Acum, deoarece 
si functia 
este o functie crescatoare, rezulta ca 
si obtinem atunci ca na^{n-1}<(b-a)nc^{n-1}<(b-a)nb^{n-1})
si inlocuind termenul din mijloc cu egalitatea de mai sus, obtinem na^{n-1}<b^n-a^n<(b-a)nb^{n-1})
.
Mulțumesc mult!