Home/ Intrebari/Q 66860
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Adrianx
Pe: 2008-12-05T16:49:25+02:00 In: In:

Izomorfisme de grupuri

Pe R se defineste legea * data de

    \[x*y = \sqrt[{1995}]{{x^{1995} + y^{1995} }}\]

Aratati ca (R,*) este grup abelian izomorf cu (R,+).

Similare

6 raspunsuri

  1. gigi.becali

    Adrianx wrote: Pe R se defineste legea * data de

        \[x*y = \sqrt[{1995}]{{x^{1995} + y^{1995} }}\]

    Aratati ca (R,*) este grup abelian izomorf cu (R,+).

    Arati ca:

    1. legea * este asociativa adik (x*y)*z = x*(y*z) pt orice x,y,z reali (se verifica usor)
    2. x*y = y*x pt orice x,y deci si comutativitatea se verifica
    3. 0 \in R este elementul neutru
    4. avem si element inversabil x'=-x \in R

    Din toate astea rezulta ca (R,*) este grup abelian.

    Sa cautam acum un izomorfism intre (R,*) si (R,+).
    Este simplu de aratat ca si (R,+) (adunearea la nr reale) este deasemenea grup abelian
    Fie functia f:(R,*) \rightarrow (R,+), f(x)=x^{1995}.
    Avem: f(x*y) = (x*y)^{1995} = x^{1995} + y^{1995} = f(x) + f(y), \forall x,y \in (R,*) deci f este morfism de grupuri si mai arati ca \exists f^{-1}:(R,+) \rightarrow (R,*), f^{-1}(x) = -x = \sqrt[{1995}]{{(-x)^{1995} + 0^{1995} }} \in (R,*), deci (R,*) este izomorf cu (R,+) prin functia f(x) = x^{1995}, \forall x \in (R,*)

  2. Adrianx

    A doua parte a demonstratiei nu o inteleg. De ce ai calculat inversa functiei respective? Ca sa fie izomorfism, trebuie ca functia aceea sa fie bijectiva.

  4. Adrianx

    aaa am inteles! Daca este inversabila, atunci este si bijectiva, nu?
    Multumesc

  5. gigi.becali

    ca sa fie izomorfism de grupuri trebuie ca functia sa aiba inversa

  6. Adrianx

    Se considera pe R aplicatia: x*y=x+y+2. Cum gasesti un izomorfism intre (R,*) si (R,+) ? Ce metoda folosesti?

  8. gigi.becali

    Adrianx wrote: Se considera pe R aplicatia: x*y=x+y+2. Cum gasesti un izomorfism intre (R,*) si (R,+) ? Ce metoda folosesti?

    nu cred ca exista vreo metoda prin care sa gasesti functia. pur si simplu o „ghicesti”.

    In cazul de fata functia este f:(R,*) \rightarrow (R,+), f(x)=-x-2 pt ca f(x*y) = -(x*y)-2 = -x-y-4 = (-x-2) + (-y-2) = f(x) + f(y) \forall x,y \in (R,*)

Raspunde

Raspunde