2 3 1995
Sa se arate ca nr. A=2+2+2+….+2 se divide cu 217.
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
mai scrie te rog enuntul odata. Eu nu inteleg problema
Ca sa demonstram ca numarul e divizibil cu 217 ar trebui demonstrat ca este divizibil cu 7 si cu 31, pt. ca 217 = 31*7.
Observam ca daca am grupa cate 3 termeni obtinem numere divizibile cu 7, de ex. primele 2 sund 2+2^2+2^3 = 14.
Putem linistiti sa le grupam cate 3, pt. ca avem 1995 termeni si 1995 este divizibil cu 3.
Deci avem:
(2 + 2^2 + 2^3) + (2^4 + 2^5 + 2^6) +…+ (2^1993 + 2^1994 + 2^1995) =
2*(1 + 2 + 2^2) + 2^4*(1 + 2 + 2^2) +…+ 2^1993*(1 + 2 + 2^2)=
2*7 + 2^4 * 7 + 2^7 * 7 + 2^10 * 7 + … + 2^1993*7 =
7*(2 + 2^4 + 2^7 + 2^10 +…+ 2^1993)
Am demonstrat deci ca numerul e divizibil cu 7, mai ramane sa demonstram ca e divizibil cu 31.
Expinentii ramasi sunt din 3 in 3 (am grupat cate 3) si au ramas 1995: 3 termeni. Adica 665 termeni.
Deci trebuie sa mai aratam ca
2 + 2^4 + 2^7 + 2^10 + 2^13 +… + 2^1987 + 2^1990+ 2^1993 e div. cu 31
Trebuie din nou sa vedem cate cati am putea grupa cei 665 termeni ramasi. Observam ca 665 = 5*7*19, asa ca ar trebui incercat sa ii grupam cate 5 , cate 7 sau cate 19.
Intai sa dam factor comun un 2:
2*(1 + 2^3 + 2^6 + 2^9 + 2^12 + …+ 2^1980 +2^1983 + 2^1986 + 2^1989 + 2^1992)
Incercam sa grupam cate 5. Primii termeni ar fi:
1 + 2^3 + 2^6 + 2^9 + 2^12 = 4681 = 151*31, care e div cu 31, deci ok
Expresia se rescrie:
2*[ (1 + 2^3 + 2^6 + 2^9 + 2^12) + …+( 2^1980 +2^1983 + 2^1986 + 2^1989 + 2^1992)] =
2*[ (1 + 2^3 + 2^6 + 2^9 + 2^12) + …+2^1980*( 1 + 2^3 + 2^6 + 2^9 + 2^12) ]=
2*(4681+…+2^1980*4681)=
2*4681*(1+…+2^1980)=
2*31*151*(1+…+2^1980) – divizibil cu 31
qed