Home/ Intrebari/Q 65571
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

just_30stm
Pe: 2008-06-04T19:38:59+03:00 In: In:

problema la geometrie (urgent)

a) desenati o piramida triunghiulara regulata

SABC este o piramida triunghiulara regulata, cu baza ABC. Punctul M este mijlocul muchiei BC, masuraunghiului determinat de dreptele SM si SA este egala cu 90 (grade) si SA=6 radical din 2
b) aratati ca triunghiul SAC este dreptunghic
c) Calculati volumul piramidei SABC
d) fie punctele A1 si B1 mijloacele muchiilor Sa si respectiv SB. iar P si proiecţiile punctelor A1 si B1 pe planul (ABC). calculati aria triunghiului CPQ.

Similare

3 raspunsuri

  1. danliana

    1)Fie l latura bazei pe care o vom calcula astfel:
    -Alpicam Pitagora in tr. SCM dreptunghic in M (cum SM este apotema piramidei rezulta ca SM este perp. pe CB)

        \[ SM^2 = SC^2 - CM^2 = (6\sqrt 2 )^2 - \left( {\frac{l}{2}} \right)^2 \] (1)

    -Alpicam Pitagora in tr. SAM dreptunghic in S (din ipoteza)

        \[ SM^2 = AM^2 - SA^2 \]

    dar in tr. echilateral ABC, AM mediana si inaltime deci

        \[ AM^2 = AC^2 - CM^2 = l^2 - \left( {\frac{l}{2}} \right)^2 = \frac{{3l^2 }}{4} \]

    si revenind la egalitatea anterioara avem:

        \[ SM^2 = \left( {\frac{{3l}}{2}} \right)^2 - (6\sqrt 2 )^2 (2) \]

    -Egalind (1) cu (2) rezulta

        \[ (6\sqrt 2 )^2 - \left( {\frac{l}{2}} \right)^2 = \left( {\frac{{3l}}{2}} \right)^2 - (6\sqrt 2 )^2 \]

    Se obtine l=12
    Verificam Pitagora in tr. SAC

        \[ \begin{array}{l} AC^2 = AS^2 + SC^2 \\ 12^2 = (6\sqrt 2 )^2 + (6\sqrt 2 )^2 ;\,\,\,144 = 144 \\ \end{array} \]

    ; deci tr. SAC este dreptunghic in S
    2)Pt. calculul Vpiramidei trebuie calculata inaltimea piramidei:

        \[ \begin{array}{l} SO^2 = SM^2 - OM^2 ;\,\,\,din\,\,\,(1)\,\,\,SM^2 = (6\sqrt 2 )^2 - \frac{{144}}{4} = 72 - 36 = 36 \\ OM = \frac{1}{3}AM;\,\,\,OM^2 = \frac{1}{9}AM^2 = \frac{1}{9}\frac{{3l^2 }}{4} = 12 \\ \end{array} \]

    Rezulta:

        \[ SO^2 = 36 - 12 = 24;\,\,SO = 2\sqrt 6 \]

        \[ V_{SABC} = \frac{1}{3}*A_{tr.ABC} *SO = \frac{1}{3}*\frac{{l^2 \sqrt 3 }}{4}*2\sqrt 6 = \frac{{144*2\sqrt {18} }}{{12}} = 72\sqrt 2 \]

    Pentru d) rezolvarea ulterior fiind foarte grabit pe moment

  2. danliana

    Rezolvare punctul d)
    -fie BN mediana dusa din B pe latura AC
    -Cum SO perp. pe planul (ABC) rezulta ca paralela dusa prin A1 la SO este perp. pe planul (ABC). Aceasta paralela este A1P cu P apartinind medianei AM
    -Cum SO perp. pe planul (ABC) rezulta ca paralela dusa prin B1 la SO este perp. pe planul (ABC). Aceasta paralela este B1Q cu Q apartinind medianei BN
    -In tr. ASO avem A1P paralel cu SO si AA1=A1S (din ipoteza) rezulta ca A1P linie mijlocie deci AP=PO (1)
    -Idem in tr. BSO B1Q linie mijlocie deci BQ=QO (2)
    -Din (1) si (2) rezulta ca PQ este linie mijlocie in tr. AOB, deci PQ=AB/2=6
    -Unim C cu O si prelungim CO pina intilneste pe PQ in S si pe AB in R. Cum CR este perp. pe AB (fiind mediana, inaltime, etc in tr. ABC) si PQ paralel cu AB rezulta ca CR (deci implicit CS) este perpendicular pe PQ. Rezulta ca CS este inaltime in tr. CPQ
    -Calculam Aria tr. CPQ=PQ*CS/2; Trebuie sa calculam inaltimea CS si stiind pe PQ=6 aflam aria. Pentru calculul inaltimii CS avem mai multe etape: Cum medianele intr-un triunghi echilateral sunt congruente rezulta CR=AM=

        \[ \frac{{l\sqrt 3 }}{2} = \frac{{12\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 \]

    de la rezolvarea1) si OS=SR (deoarece SQ linie mijlocie in tr. ORB), cum OR=1/3CR (proprietatea intersectiilor medianelor) =

        \[ = \frac{1}{3}*6\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \]

    , rezulta OS=OR/2=

        \[ \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \]

    .Avem si ca OC=2/3CR (proprietatea intersectiilor medianelor)=

        \[ \frac{2}{3}*6\sqrt 3 = 4\sqrt 3 \]

    . Acum putem calcula inaltimea CS=CO+OS=

        \[ 4\sqrt 3 + \sqrt 3 = 5\sqrt 3 \]

    . In acest context rezulta

        \[ A_{tr.CPQ} = \frac{1}{2}*6*5\sqrt 2 = 15\sqrt 2 \]

    OBS. Pentru cerinta a) ,,demonstrarea ca tr. SAC este dreptunghic” iti mai dau o solutie:
    – BC perp. pe AM si BC perp. pe SM deci BC perp. pe planul SAM, deci BC perp. pe SA ce apartine planului SAM
    – Cum BC perp. pe AS deci AS perp. pe BC si cum AS perp. SM (din ipoteza) rezulta ca AS perpendicular pe cele 2 drepte concurente BC si SM, deci AS perpendicular pe planul SMB si cum SC apartine planului SMB rezulta ca AS perpendicular pe SC deci tr. ASC este dreptunghic cu S=90grade
    OK!

  4. danliana

    Recitind rezolvarea punctului d) am vazut ca la inlocuire in Aria tr. CPQ pe CS in loc sa-l pun

        \[ 5\sqrt 3 \]

    l-am pus

        \[ 5\sqrt 2 \]

    .Fac cuvenita rectificare cu scuzele de rigoare si

        \[ A_{tr.CPQ} = \frac{1}{2}*6*5\sqrt 3 = 15\sqrt 3 \]

    in loc de

        \[ 15\sqrt 2 \]

    cit am pus in rezolvare

Raspunde

Raspunde