Home/ Intrebari/Q 65204
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

nus_13
Pe: 2008-03-25T20:15:15+02:00 In: In:

algebra pt joi, clasa 8

Din tema pentru joi mai am astea doua:

Exercitiul 1:
Determinati m,n

    \[ \in \]

N astfel ca numerele 3m+2n+6, 5m+4n+1 si 7m+5n+3 sa fie, in ordine, patrate perfecte consecutive.

Exercitiul 2:
Fie

    \[ x,y,z \in (0,\infty ) \]

astfel incat xyz=1. Sa se arate ca

    \[ \frac{{xy}}{{1 + z^2 }} + \frac{{yz}}{{1 + x^2 }} + \frac{{zx}}{{1 + y^2 }} \ge \frac{3}{2} \]

merci mult-mult

Similare

2 raspunsuri

  1. traxduby

    RASPUND LA EXERCITIUL 1) :

    avem:

    3m+2n+6 = k^2 [1]

    5m+4n+1 = (k+1)^2 [2]

    7m+5n+3 = (k+2)^2 [3]

    [2]- [1] = 5m+4n+1 – 3m – 2n – 6 = 2m + 2n -5 = k^2 + 2k + 1 – k^2 =

    = 2k + 1

    deci am obtinut

    2m+2n-5 = 2k +1 [4]

    [3] – [2] = 7m+5n+3-5m-4n-1 = 2m+n+2 = k^2 + 4k + 4 – k^2 -2k – 1 = 2k + 3

    deci am obtinut

    2m+n+2 = 2k+3 [5]

    facand acum [4] – [5] obtinem

    2m+2n-5 – 2m – n – 2 = 2k+3-2k-1

    adica

    n – 7 = 2, de unde n = 5

    de acum restul e simplu caci il vei inlocui pe n in celelalte relatii si….

    bafta!!

    numai bine….

  2. danliana

    Ne folosim de faptul ca media aritmetica a 3 numere, a,b, c, este mai mare sau cel mult egala cu media geometrica a lor. Numerele a, b, c, sunt chiar cei 3 termeni ai inegalitatii. Deci avem:

        \[ \frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}};\,\,\,\frac{{\frac{{xy}}{{1 + z^2 }} + \frac{{yz}}{{1 + x^2 }} + \frac{{xz}}{{1 + y^2 }}}}{3} \ge \sqrt[3]{{\frac{{xy}}{{1 + z^2 }}*\frac{{yz}}{{1 + x^2 }}*\frac{{xz}}{{1 + y^2 }}}}; \]

    [tex]\[
    deci\,\frac{{xy}}{{1 + z^2 }} + \frac{{yz}}{{1 + x^2 }} + \frac{{xz}}{{1 + y^2 }} \ge 3*\sqrt[3]{{\frac{{xy}}{{1 + z^2 }}*\frac{{yz}}{{1 + x^2 }}*\frac{{xz}}{{1 + y^2 }}}} = 3*\sqrt[3]{{\frac{1}{{(1 + z^2 )(1 + x^2 )(1 + y^2 )}}}}
    \]

    [/tex]
    Daca aratam ca

        \[ (1 + z^2 )(1 + x^2 )(1 + y^2 ) \ge 8 \]

    problema este rezolvata. Desfacem parantezele si inlocuim pe z=1/xy

        \[ {(1 + x^2 + y^2 + x^2 y^2 )(1 + z^2 ) = 1 + x^2 + y^2 + x^2 y^2+z^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2 + x^2 y^2 z^2 ;\,\,dar\,\,z = \frac{1}{{xy}} \cr 2 + x^2 + y^2 + \frac{1}{{x^2 y^2 }} + x^2 y^2 + x^2 \frac{1}{{x^2 y^2 }} + y^2 \frac{1}{{x^2 y^2 }} = 2 + \left( {x^2 + \frac{1}{{x^2 }}} \right) + \left( {y^2 + \frac{1}{{y^2 }}} \right) + \left( {x^2y^2 + \frac{1}{{x^2y^2 }}} \right) \ge 8 \cr} \]

    deoarece se stie ca

        \[ \left( {x^2 + \frac{1}{{x^2 }}} \right) \ge 2;\,\left( {y^2 + \frac{1}{{y^2 }}} \right) \ge 2;\,\left( {x^2 y^2 + \frac{1}{{x^2 y^2 }}} \right) \ge 2; \]

    OK!

Raspunde

Raspunde