Home/ Intrebari/Q 65145
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

mcezarica
Pe: 2008-03-20T14:50:39+02:00 In: In:

Problema (pana luni daca se poate)

Fie numere naturale a si b cu proprietatile:
a - 9 = 8(9+9^2+9^3+...+9^{100}) si b - 12 = 4(5+5^2+5^3+5^4+...+5^{100})
Aratati ca a este patrat perfect, iar b nu este patrat perfect.

Similare

4 raspunsuri

  1. marius00

        <br/> \[<br/> \begin{array}{l}<br/> a = 9 + 8 \cdot 9 + 8 \cdot 9^2 + 8 \cdot 9^3 + ... + 8 \cdot 9^{100} \\ <br/> 9 + 72 + 8 \cdot 9^2 + 8 \cdot 9^3 + ... + 8 \cdot 9^{100} = 9^2 + 8 \cdot 9^2 + 8 \cdot 9^3 + ... + 8 \cdot 9^{100} \\ <br/> 9^2 (1 + <E>8)</E> + 8 \cdot 9^3 + ... + 8 \cdot 9^{100} = 9^3 + 8 \cdot 9^3 + ... + 8 \cdot 9^{100} \\ <br/> 9^3 + 8 \cdot 9^3 + ... + 8 \cdot 9^{100} = ... = 9^{101} = (3^2 )^{101} = (3^{101} )^2 = > a - patrat -perfect \\ <br/> \end{array}<br/> \]<br/>

  2. marius00

        \[ \begin{array}{l} b = 12 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + ... + 4 \cdot 5^{100} \\ 7 + 5 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + ... + 4 \cdot 5^{100} = 7 + 5^2 + 4 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + ... + 4 \cdot 5^{100} \\ 7 + 5^2 (1 + 4) + 4 \cdot 5^3 + ... + 4 \cdot 5^{100} = 7 + 5^3 + 4 \cdot 5^3 + ... + 4 \cdot 5^{100} \\ 7 + 5^3 + 4 \cdot 5^3 + ... + 4 \cdot 5^{100} = ... = 7 + 5^{101} = 7 + (5)^{101} \\ \end{array} \]

    Se observa ca 5 la orice putere are ultima cifra 5, adunand 7 ultima cifra va fi 2 => b nu e patrat perfect
    un patrat perfect are ultima cifra 0,1,4,5,6,9

  4. traxduby

    doar o mica remarca la al doilea numar (imi cer scuze de interventie – nu va fi ceva de corectat !!!)

    deoarece avem suma de la 5^1 la 5^100, inseamna ca apar 100 cifre de cinci, care adunate la final vor da cifra finala 0 !

    Deci ultima cifra a numarului b – 12 va fi 0, rezulta ca ultima cifra a numarului b este 2, deci b nu poate fi patrat perfect deoarece nici un patrat nu se termina in cifra 2 !!

    scuze inca o data…

    bafta !!!

    numai bine….

  5. danliana

    Vin si eu cu o alta rezolvare poate ajuta si altora:Notam cu S suma puterilor lui 9 apoi inmultim aceasta suma cu 9, le scadem si rezulta S.

        \[ \begin{array}{l} S = 9^1 + 9^2 + 9^3 + .................9^{100} \\ 9S = 9^2 + 9^3 + 9^4 ................. + 9^{100} + 9^{101} \\ 9S - S = 9^{101} - 9 \\ S(9 - 1) = 9^{101} - 9 \\ S = \frac{{9^{101} - 9}}{8} \\ \end{array} \]

    Inlocim pe S in expresia initiala si avem:

        \[ \begin{array}{l} a - 9 = 8*\frac{{9^{101} - 9}}{8} = 9^{101} - 9 \\ a = 9^{101} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \end{array} \]

    si de aici rezulta imediat cerinta. Idem se face si al doilea exercitiu

Raspunde

Raspunde