Inregistrare

Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.

Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.

Aveti deja cont ? Login


Aveti deja cont ? Autentificare

Login

Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.

Inregistrare

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare

Resetare parola

V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.

Aveti deja cont ? Autentificare

Va rugam sa va autentificati.

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare

Please briefly explain why you feel this question should be reported.

Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.

Motivul pentru care raportezi utilizatorul.

LoginInregistrare

AniDeȘcoală.ro

AniDeȘcoală.ro Logo AniDeȘcoală.ro Logo

AniDeȘcoală.ro Navigation

  • TEME
  • FUN
  • SCOALA
  • DEX
  • PARENTING
CAUTA
PUNE O INTREBARE

Mobile menu

Inchide
PUNE O INTREBARE
  • HOME
  • TEME
    • Matematica
    • Limba romana
    •  Istorie
    •  Chimie
    • Biologie
    • Geografie
    •  Fizica
    • Informatica
    • Limbi straine
      • Engleza
      • Franceza
      • Germana
      • Altele
    • Diverse
    • Provocari
  • FUN
    • Povești pentru copii
      • Povesti nemuritoare
      • Povesti scurte cu talc
      • Alexandru Mitru
      • Anton Pann
      • Calin Gruia
      • Constanta Nitescu
      • Dumitru Almas
      • Elia David
      • Emil Garleanu
      • Grigore Alexandrescu
      • Ion Creanga
      • Ion Luca Caragiale
      • Marcela Penes
      • Marin Sorescu
      • Petre Ispirescu
      • Victor Eftimiu
      • Alti autori romani
      • Autori straini
        • Antoine de Saint Exupery
        • Charles Perrault
        • Edmondo de Amicis
        • Erika Scheuering
        • Esop
        • Felix Salten
        • Fraţii Grimm
        • Hans Christian Andersen
        • Jean de la Fontaine
        • Johanna Spyri
        • Lev Nicolaevici Tolstoi
        • Rudyard Kipling
        • Virginia Waters
        • Alti autori straini
    • Poezii
      • Grigore Vieru
      • Elena Farago
      • George Toparceanu
      • George Cosbuc
      • Mihai Eminescu
      • Nicolae Labis
      • Otilia Cazimir
      • Tudor Arghezi
      • Vasile Alecsandri
      • Alti autori
    • Stiati ca...
      • Romania
      • Sistemul solar
      • Plante
      • Animale
      • Superlative geografice
      • Altele
    • Citate celebre
    • Proverbe
    • Ghicitori
    • Glume si bancuri
    • Teste de cultura generala
    • Teste de personalitate
    • Probleme distractive
    • Activitati educative
    • Sfaturi practice
    • Planșe de colorat
    • Jocuri in aer liber
    • Abilitati practice
    • Jocuri distractive
    • Cantece pentru copii
    • Codul bunelor maniere
  • SCOALA
    • Matematica
      • Formule Algebra
      • Formule Geometrie
      • Formule Analiza
    • Gramatica
      • Stii sa scrii ?!
      • Părți de propoziție
      • Părți de vorbire
      • Cazurile
      • Sintaxa
      • Diverse
    • Limba romana
      • Bacalaureat
      • Abecedar
    • Cultura generala
  • IARNA
    • Colinde pentru copii
    • Povești de iarnă
    • Povești de Crăciun
    • Craciunul ... ce, cum, cand ?
  • DEX
  • PARENTING
  • PUNCTE SI RANGURI
  • FAQ
  • CONTACT
Home/ Intrebari/Q 6450
Urmator
Answered
mary-
30
mary-user (0)
Pe: 9 aprilie 20212021-04-09T11:28:41+03:00 2021-04-09T11:28:41+03:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

Fie a) Să se arate că …

1. Fie f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=\begin{cases} 0 & x\in[0,1]\\ 1 & x\in(1,2] \end{cases}
a) Să se arate că f e integrabilă dar neprimitivabilă pe [0,2]
b) Determinați funcția g:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}, g(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt
c) Să se arate că g nu e derivabilă pe [0,2]

2. Fie f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{|x-1|e^{nx}+2(x+1)^2e^{-nx}}{e^{nx}+e^{-nx}}
a) Arătați că f este integrabilă pe [-2,2]
b) Calculați I=\int_{-2}^{2}f(x)dx

  • 0
  • 33
  • 2
  • Share
    • Share peFacebook
    • Share pe Twitter
    • Share pe WhatsApp

Similare

  • Să se demonstreze că pentru orice număr ...
  • Reprezentați într-un sistem de axe ortogonale punctele ...
  • Determinati numerele intregi x in fiecare dintre ...
  • Calculati: a). (576- 1 la puterea 2) ...
  • Am mare nevoie de ajutor , va ...
  • hei! Mă poate ajuta la c? Am ...

3 raspunsuri

  1. Best Answer
    Menim maestru (V)
    2021-04-09T19:53:23+03:00A raspuns pe 9 aprilie 2021 la 7:53 PM

    1.a)O functie este integrabila Riemann daca si numai daca este marginita si are un numar finit de discontinuitati. Functia f este marginita de 0 si 1, si are o singura discontinuitate in punctul 1, deci este integrabila Riemann.

    O functie este primitivabila daca si numai daca exista o alta functie, derivabila, a carei derivate este functia originala. Aceasta functie se numeste primitiva.

    Fie F o primitiva a lui f. Atunci(deoarece f este derivata lui F) pe intervalul [0, 1] F este functia constanta, iar pe intervalul (1, 2] F este functia x+constanta, adica:
    F(x)=\left\{\begin{matrix} c, x\in[0, 1]\\ x+d, x\in(1, 2] \end{matrix}\right.

    F este o functie derivabila, deci este continua(orice functie derivabila este continua). Calculam limitele laterale in punctul 1:
    \lim_{x\to1, x<1}f(x)=c
    \lim_{x\to1, x>1}f(x)=1+d
    Din continuitate aceste 2 limite trebuie sa fie egale, deci functia F devine:
    F(x)=\left\{\begin{matrix} d+1, x\in[0, 1]\\ x+d, x\in(1, 2] \end{matrix}\right.

    Functia F trebuie sa fie derivabila. Pe cele 2 intervale este clar ca functia este derivabila. Posibila problema apare in punctul 1. Calculam acolo derivata folosind definitia, anume:
    F'(1)=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-(d+1)}{x-1}
    Aceasta limita exista daca si numai daca cele 2 limite laterale exista si sunt egale. Sa le calculam:
    \lim_{x\to1, x<1}\frac{f(x)-(d+1)}{x-1}=\lim_{x\to1, x<1}\frac{(d+1)-(d+1)}{x-1}=0
    \lim_{x\to1, x>1}\frac{f(x)-(d+1)}{x-1}=\lim_{x\to1, x>1}\frac{x+d-(d+1)}{x-1}=\lim_{x\to1, x>1}\frac{x-1}{x-1}=1
    Cum cele 2 limite sunt diferite, functia F nu este derivabila in 1, deci nu poate fi primitiva lui f. Rezulta ca f nu este primitivabila.

    b)Cand x\in[0, 1]:
    g(x)=\int_0^xf(t)dt=\int_0^x0dt=0
    Cand x\in(1, 2]:
    g(x)=\int_0^x f(t)dt=\int_0^1f(t)dt+\int_1^x f(t)dt=\int_0^10dt+\int_1^x1dt=0+t|_1^x=x-1
    Deci:
    g(x)=\left\{\begin{matrix} 0, x\in[0, 1]\\ x-1, x\in(1, 2] \end{matrix}\right.

    c)Se observa usor ca g este continua si este derivabila pe cele 2 intervale. Incercam sa calculam derivata in punctul 1, asa cum am facut si la a). Din definitie, g'(x)=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x-1}.
    Aceasta limita exista daca si numai daca limitele laterale exista si sunt egale. Calculam aceste limite:
    \lim_{x\to1, x<1}\frac{f(x)}{x-1}=\lim_{x\to1, x<1}\frac{0}{x-1}=0
    \lim_{x\to1, x>1}\frac{f(x)}{x-1}=\lim_{x\to1, x>1}\frac{x-1}{x-1}=1
    Limitele sunt diferite deci functia nu are derivata in punctul 1, adica nu este derivabila.

    • 0
    • Raspunde
  2. Menim maestru (V)
    2021-04-09T20:30:52+03:00A raspuns pe 9 aprilie 2021 la 8:30 PM

    2.Presupun ca n tinde la infinit in limita, altfel functia nu ar avea sens.

    Se cunoaste ca:
    \lim_{n\to\infty}e^{nx}=\left\{\begin{matrix} 0, x<0\\ 1, x=0\\ \infty, x>0 \end{matrix}\right.

    Este atunci natural sa analizam pe cazuri functia f.
    Pentru cazul x<0, simplificam functia prin e^{-nx}. Facem asta pentru acest factor cu care simplificam ar tinde altfel la infinit, dar noua ne este mai usor sa lucram cu 0. Obtinem:
    f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{|x-1|e^{nx}+2(x+1)^2e^{-nx}}{e^{nx}+e^{-nx}}=\lim_{n\to\infty}\frac{|x-1|e^{2nx}+2(x+1)^2}{e^{2nx}+1}

    Folosind proprietatea de mai sus, avem ca e^{2nx}\to0 deci limita de mai sus este egala cu \frac{|x-1|\cdot0+2(x+1)^2}{0+1}=2(x+1)^2

    Pentru x=0:
    f(0)=\lim_{n\to\infty}\frac{|-1|e^0+2\cdot1^2\cdot e^0}{e^0+e^0}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+2}{1+1}=\frac32

    Pentru x>0, simplificam cu e^{nx}, din nou pentru a scapa de infinit si a simplifica calculele:
    f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{|x-1|+2(x+1)^2e^{-2nx}}{1+e^{-2nx}}
    Din proprietatea enuntata mai sus avem ca e^{-2nx}\to0 deci limita este egala cu \frac{|x-1|+2(x+1)^2\cdot0}{1+0}=|x-1|. Explicitam modulul:
    |x-1|=\left\{\begin{matrix} 1-x, x\leq1\\ x-1, x>1\\ \end{matrix}\right.

    Punand la un loc tot ce am calculat, avem:
    f(x)=\left\{\begin{matrix} 2(x+1)^2, x\in(-\infty, 0)\\ \frac32, x=0\\ 1-x, x\in(0, 1]\\ x-1, x\in(1, \infty) \end{matrix}\right.

    a)Limitam functia la intervalul dat, [-2, 2]:
    f(x)=\left\{\begin{matrix} 2(x+1)^2, x\in[-2, 0)\\ \frac32, x=0\\ 1-x, x\in(0, 1]\\ x-1, x\in(1, 2] \end{matrix}\right.
    Aceasta functie are cel mult 2 discontinuitati, in 0 si 1. Se observa deasemenea ca aceasta este marginita(pot sa scriu mai in detaliu asta, daca doresti, dar poti folosi in general monotonia acestor functii pentru a le demonstra marginirea;nu cred insa ca este necesar deoarece se vede si vizual acest lucru). Rezulta atunci ca functia f este integrabila(orice functie marginita care are un numar finit de discontinuitati este integrabila Riemann).

    b)Spargem integrala dupa intervalele pe care e definita si functia:
    I=\int_{-2}^{2}f(x)dx=\int_{-2}^0f(x)dx+\int_0^1f(x)dx+\int_1^2f(x)dx=\int_{-2}^02(x+1)^2dx+\int_0^1(1-x)x+\int_1^2(x-1)dx=\int_{-2}^0(2x^2+4x+2)dx+\int_0^1(1-x)x+\int_1^2(x-1)dx=(\frac23x^3+2x^2+2x)|_0^{-2}+(x-\frac12x^2)|_0^1+(\frac12x^2-x)|_1^2=(\frac23(-2)^3+2(-2)^2+2(-2))-(\frac23\cdot0+2\cdot0^2+2\cdot0)+(1-\frac12\cdot1^2)-(0-\frac12\cdot0^2)+(\frac122^2-2)-(\frac12\cdot1^2\cdot1^2-1)=(-\frac23\cdot8+8-4)+(1-\frac12)+(\frac42-2)-(\frac12-1)=(-\frac{16}3+4)+\frac12+(2-2)-(-\frac12)=-\frac{16}{3}+4+\frac12+\frac12=-\frac{16}{3}+5=-\frac{16}{3}+\frac{15}{3}=-\frac13
    Poate ca ai observat ca faptul ca f(0)=\frac32 nu joaca niciun rol in aceasta integrala. In general, un numar finit de puncte dintr-o integrala nu schimba valoarea acesteia.

    • 1
    • Raspunde
    • mary- user (0)
      2021-04-12T16:00:58+03:00A raspuns pe 12 aprilie 2021 la 4:00 PM

      Într-adevăr în cerință apare n-> infinit la limită

      • 0
Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul


Sidebar

PUNE O INTREBARE
  • IARNA
    • Colinde pentru copii
    • Povești de iarnă
    • Povești de Crăciun
    • Craciunul ... ce, cum, cand ?
  • FUN
    • Povești pentru copii
    • Povesti scurte cu talc
    • Povesti nemuritoare
    • Poezii
    • Stiati ca...
    • Citate celebre
    • Proverbe
    • Ghicitori
    • Glume si bancuri
  • SCOALA
    • Matematica
      • Formule Algebra
      • Formule Geometrie
      • Formule Analiza
    • Stii sa scrii ?!
    • Comentarii si rezumate
    • Cultura generala

Explore

  • Matematica
  • Limba romana
  •  Istorie
  •  Chimie
  • Biologie
  • Geografie
  •  Fizica
  • Informatica
  • Limbi straine
    • Engleza
    • Franceza
    • Germana
    • Altele
  • Diverse
  • Provocari

Footer

Despre noi

Platforma educationala pentru copii, parinti si profesori. Pune intrebari si primeste raspunsuri de la profesori si utilizatori experimentati. Transmite sugestii, povesti, articole etc.

Utile

  • Puncte si Ranguri
  • FAQ
  • Termeni și condiţii
  • Contact

Proiecte

  • Parenting
  • Dictionar explicativ
  • Matematica
  • Gramatica limbii romane
  • Trafic

Statistici

  • Intrebari : 30.752
  • Raspunsuri : 69.960
  • Best Answers : 394
  • Articole : 5.232
  • Comentarii : 15.442

Inserează/editează legătura

Introdu URL-ul de destinație

Sau leagă-te la conținutul existent

    Nu ai specificat niciun termen de căutare. Arăt elementele recente. Căută sau folosește tastele săgeată sus și jos pentru a selecta un element.