1. Fie
a) Să se arate că f e integrabilă dar neprimitivabilă pe
b) Determinați funcția
c) Să se arate că nu e derivabilă pe
2. Fie
a) Arătați că f este integrabilă pe [-2,2]
b) Calculați
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
1.a)O functie este integrabila Riemann daca si numai daca este marginita si are un numar finit de discontinuitati. Functia f este marginita de 0 si 1, si are o singura discontinuitate in punctul 1, deci este integrabila Riemann.
O functie este primitivabila daca si numai daca exista o alta functie, derivabila, a carei derivate este functia originala. Aceasta functie se numeste primitiva.
Fie F o primitiva a lui f. Atunci(deoarece f este derivata lui F) pe intervalul
F este functia constanta, iar pe intervalul
F este functia x+constanta, adica:
![F(x)=\left\{\begin{matrix} c, x\in[0, 1]\\ x+d, x\in(1, 2] \end{matrix}\right.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?F(x)=\left\{\begin{matrix}&space;c,&space;x\in[0,&space;1]\\&space;x+d,&space;x\in(1,&space;2]&space;\end{matrix}\right.)
F este o functie derivabila, deci este continua(orice functie derivabila este continua). Calculam limitele laterale in punctul 1:
=c)
=1+d)
![F(x)=\left\{\begin{matrix} d+1, x\in[0, 1]\\ x+d, x\in(1, 2] \end{matrix}\right.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?F(x)=\left\{\begin{matrix}&space;d+1,&space;x\in[0,&space;1]\\&space;x+d,&space;x\in(1,&space;2]&space;\end{matrix}\right.)
Din continuitate aceste 2 limite trebuie sa fie egale, deci functia F devine:
Functia F trebuie sa fie derivabila. Pe cele 2 intervale este clar ca functia este derivabila. Posibila problema apare in punctul 1. Calculam acolo derivata folosind definitia, anume:
=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-(d+1)}{x-1})
-(d+1)}{x-1}=\lim_{x\to1,&space;x<1}\frac{(d+1)-(d+1)}{x-1}=0)
-(d+1)}{x-1}=\lim_{x\to1,&space;x>1}\frac{x+d-(d+1)}{x-1}=\lim_{x\to1,&space;x>1}\frac{x-1}{x-1}=1)
Aceasta limita exista daca si numai daca cele 2 limite laterale exista si sunt egale. Sa le calculam:
Cum cele 2 limite sunt diferite, functia F nu este derivabila in 1, deci nu poate fi primitiva lui f. Rezulta ca f nu este primitivabila.
b)Cand
:
=\int_0^xf(t)dt=\int_0^x0dt=0)
:
=\int_0^x&space;f(t)dt=\int_0^1f(t)dt+\int_1^x&space;f(t)dt=\int_0^10dt+\int_1^x1dt=0+t|_1^x=x-1)
![g(x)=\left\{\begin{matrix} 0, x\in[0, 1]\\ x-1, x\in(1, 2] \end{matrix}\right.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?g(x)=\left\{\begin{matrix}&space;0,&space;x\in[0,&space;1]\\&space;x-1,&space;x\in(1,&space;2]&space;\end{matrix}\right.)
Cand
Deci:
c)Se observa usor ca g este continua si este derivabila pe cele 2 intervale. Incercam sa calculam derivata in punctul 1, asa cum am facut si la a). Din definitie,
.
}{x-1}=\lim_{x\to1,&space;x<1}\frac{0}{x-1}=0)
}{x-1}=\lim_{x\to1,&space;x>1}\frac{x-1}{x-1}=1)
Aceasta limita exista daca si numai daca limitele laterale exista si sunt egale. Calculam aceste limite:
Limitele sunt diferite deci functia nu are derivata in punctul 1, adica nu este derivabila.
2.Presupun ca n tinde la infinit in limita, altfel functia nu ar avea sens.
Se cunoaste ca:

Este atunci natural sa analizam pe cazuri functia f.
. Facem asta pentru acest factor cu care simplificam ar tinde altfel la infinit, dar noua ne este mai usor sa lucram cu 0. Obtinem:
=\lim_{n\to\infty}\frac{|x-1|e^{nx}+2(x+1)^2e^{-nx}}{e^{nx}+e^{-nx}}=\lim_{n\to\infty}\frac{|x-1|e^{2nx}+2(x+1)^2}{e^{2nx}+1})
Pentru cazul x<0, simplificam functia prin
Folosind proprietatea de mai sus, avem ca
deci limita de mai sus este egala cu ^2}{0+1}=2(x+1)^2)
Pentru x=0:
=\lim_{n\to\infty}\frac{|-1|e^0+2\cdot1^2\cdot&space;e^0}{e^0+e^0}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+2}{1+1}=\frac32)
Pentru x>0, simplificam cu
, din nou pentru a scapa de infinit si a simplifica calculele:
=\lim_{n\to\infty}\frac{|x-1|+2(x+1)^2e^{-2nx}}{1+e^{-2nx}})
deci limita este egala cu
. Explicitam modulul:

Din proprietatea enuntata mai sus avem ca
Punand la un loc tot ce am calculat, avem:
![f(x)=\left\{\begin{matrix} 2(x+1)^2, x\in(-\infty, 0)\\ \frac32, x=0\\ 1-x, x\in(0, 1]\\ x-1, x\in(1, \infty) \end{matrix}\right.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=\left\{\begin{matrix}&space;2(x+1)^2,&space;x\in(-\infty,&space;0)\\&space;\frac32,&space;x=0\\&space;1-x,&space;x\in(0,&space;1]\\&space;x-1,&space;x\in(1,&space;\infty)&space;\end{matrix}\right.)
a)Limitam functia la intervalul dat, [-2, 2]:
![f(x)=\left\{\begin{matrix} 2(x+1)^2, x\in[-2, 0)\\ \frac32, x=0\\ 1-x, x\in(0, 1]\\ x-1, x\in(1, 2] \end{matrix}\right.](https://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=\left\{\begin{matrix}&space;2(x+1)^2,&space;x\in[-2,&space;0)\\&space;\frac32,&space;x=0\\&space;1-x,&space;x\in(0,&space;1]\\&space;x-1,&space;x\in(1,&space;2]&space;\end{matrix}\right.)
Aceasta functie are cel mult 2 discontinuitati, in 0 si 1. Se observa deasemenea ca aceasta este marginita(pot sa scriu mai in detaliu asta, daca doresti, dar poti folosi in general monotonia acestor functii pentru a le demonstra marginirea;nu cred insa ca este necesar deoarece se vede si vizual acest lucru). Rezulta atunci ca functia f este integrabila(orice functie marginita care are un numar finit de discontinuitati este integrabila Riemann).
b)Spargem integrala dupa intervalele pe care e definita si functia:
dx=\int_{-2}^0f(x)dx+\int_0^1f(x)dx+\int_1^2f(x)dx=\int_{-2}^02(x+1)^2dx+\int_0^1(1-x)x+\int_1^2(x-1)dx=\int_{-2}^0(2x^2+4x+2)dx+\int_0^1(1-x)x+\int_1^2(x-1)dx=(\frac23x^3+2x^2+2x)|_0^{-2}+(x-\frac12x^2)|_0^1+(\frac12x^2-x)|_1^2=(\frac23(-2)^3+2(-2)^2+2(-2))-(\frac23\cdot0+2\cdot0^2+2\cdot0)+(1-\frac12\cdot1^2)-(0-\frac12\cdot0^2)+(\frac122^2-2)-(\frac12\cdot1^2\cdot1^2-1)=(-\frac23\cdot8+8-4)+(1-\frac12)+(\frac42-2)-(\frac12-1)=(-\frac{16}3+4)+\frac12+(2-2)-(-\frac12)=-\frac{16}{3}+4+\frac12+\frac12=-\frac{16}{3}+5=-\frac{16}{3}+\frac{15}{3}=-\frac13)
nu joaca niciun rol in aceasta integrala. In general, un numar finit de puncte dintr-o integrala nu schimba valoarea acesteia.
Poate ca ai observat ca faptul ca
Într-adevăr în cerință apare n-> infinit la limită