Home/ Intrebari/Q 6450
Urmator
Answered
mary-
30
user (0)
Pe: 2021-04-09T11:28:41+03:00 In: In:

Fie a) Să se arate că …

1. Fie f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=\begin{cases} 0 & x\in[0,1]\\ 1 & x\in(1,2] \end{cases}
a) Să se arate că f e integrabilă dar neprimitivabilă pe [0,2]
b) Determinați funcția g:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}, g(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt
c) Să se arate că g nu e derivabilă pe [0,2]

2. Fie f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{|x-1|e^{nx}+2(x+1)^2e^{-nx}}{e^{nx}+e^{-nx}}
a) Arătați că f este integrabilă pe [-2,2]
b) Calculați I=\int_{-2}^{2}f(x)dx

Similare

3 raspunsuri

  1. Best Answer
    maestru (V)

    1.a)O functie este integrabila Riemann daca si numai daca este marginita si are un numar finit de discontinuitati. Functia f este marginita de 0 si 1, si are o singura discontinuitate in punctul 1, deci este integrabila Riemann.

    O functie este primitivabila daca si numai daca exista o alta functie, derivabila, a carei derivate este functia originala. Aceasta functie se numeste primitiva.

    Fie F o primitiva a lui f. Atunci(deoarece f este derivata lui F) pe intervalul [0, 1] F este functia constanta, iar pe intervalul (1, 2] F este functia x+constanta, adica:
    F(x)=\left\{\begin{matrix} c, x\in[0, 1]\\ x+d, x\in(1, 2] \end{matrix}\right.

    F este o functie derivabila, deci este continua(orice functie derivabila este continua). Calculam limitele laterale in punctul 1:
    \lim_{x\to1, x<1}f(x)=c
    \lim_{x\to1, x>1}f(x)=1+d
    Din continuitate aceste 2 limite trebuie sa fie egale, deci functia F devine:
    F(x)=\left\{\begin{matrix} d+1, x\in[0, 1]\\ x+d, x\in(1, 2] \end{matrix}\right.

    Functia F trebuie sa fie derivabila. Pe cele 2 intervale este clar ca functia este derivabila. Posibila problema apare in punctul 1. Calculam acolo derivata folosind definitia, anume:
    F'(1)=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-(d+1)}{x-1}
    Aceasta limita exista daca si numai daca cele 2 limite laterale exista si sunt egale. Sa le calculam:
    \lim_{x\to1, x<1}\frac{f(x)-(d+1)}{x-1}=\lim_{x\to1, x<1}\frac{(d+1)-(d+1)}{x-1}=0
    \lim_{x\to1, x>1}\frac{f(x)-(d+1)}{x-1}=\lim_{x\to1, x>1}\frac{x+d-(d+1)}{x-1}=\lim_{x\to1, x>1}\frac{x-1}{x-1}=1
    Cum cele 2 limite sunt diferite, functia F nu este derivabila in 1, deci nu poate fi primitiva lui f. Rezulta ca f nu este primitivabila.

    b)Cand x\in[0, 1]:
    g(x)=\int_0^xf(t)dt=\int_0^x0dt=0
    Cand x\in(1, 2]:
    g(x)=\int_0^x f(t)dt=\int_0^1f(t)dt+\int_1^x f(t)dt=\int_0^10dt+\int_1^x1dt=0+t|_1^x=x-1
    Deci:
    g(x)=\left\{\begin{matrix} 0, x\in[0, 1]\\ x-1, x\in(1, 2] \end{matrix}\right.

    c)Se observa usor ca g este continua si este derivabila pe cele 2 intervale. Incercam sa calculam derivata in punctul 1, asa cum am facut si la a). Din definitie, g'(x)=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x-1}.
    Aceasta limita exista daca si numai daca limitele laterale exista si sunt egale. Calculam aceste limite:
    \lim_{x\to1, x<1}\frac{f(x)}{x-1}=\lim_{x\to1, x<1}\frac{0}{x-1}=0
    \lim_{x\to1, x>1}\frac{f(x)}{x-1}=\lim_{x\to1, x>1}\frac{x-1}{x-1}=1
    Limitele sunt diferite deci functia nu are derivata in punctul 1, adica nu este derivabila.

    • 0
  2. maestru (V)

    2.Presupun ca n tinde la infinit in limita, altfel functia nu ar avea sens.

    Se cunoaste ca:
    \lim_{n\to\infty}e^{nx}=\left\{\begin{matrix} 0, x<0\\ 1, x=0\\ \infty, x>0 \end{matrix}\right.

    Este atunci natural sa analizam pe cazuri functia f.
    Pentru cazul x<0, simplificam functia prin e^{-nx}. Facem asta pentru acest factor cu care simplificam ar tinde altfel la infinit, dar noua ne este mai usor sa lucram cu 0. Obtinem:
    f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{|x-1|e^{nx}+2(x+1)^2e^{-nx}}{e^{nx}+e^{-nx}}=\lim_{n\to\infty}\frac{|x-1|e^{2nx}+2(x+1)^2}{e^{2nx}+1}

    Folosind proprietatea de mai sus, avem ca e^{2nx}\to0 deci limita de mai sus este egala cu \frac{|x-1|\cdot0+2(x+1)^2}{0+1}=2(x+1)^2

    Pentru x=0:
    f(0)=\lim_{n\to\infty}\frac{|-1|e^0+2\cdot1^2\cdot e^0}{e^0+e^0}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+2}{1+1}=\frac32

    Pentru x>0, simplificam cu e^{nx}, din nou pentru a scapa de infinit si a simplifica calculele:
    f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{|x-1|+2(x+1)^2e^{-2nx}}{1+e^{-2nx}}
    Din proprietatea enuntata mai sus avem ca e^{-2nx}\to0 deci limita este egala cu \frac{|x-1|+2(x+1)^2\cdot0}{1+0}=|x-1|. Explicitam modulul:
    |x-1|=\left\{\begin{matrix} 1-x, x\leq1\\ x-1, x>1\\ \end{matrix}\right.

    Punand la un loc tot ce am calculat, avem:
    f(x)=\left\{\begin{matrix} 2(x+1)^2, x\in(-\infty, 0)\\ \frac32, x=0\\ 1-x, x\in(0, 1]\\ x-1, x\in(1, \infty) \end{matrix}\right.

    a)Limitam functia la intervalul dat, [-2, 2]:
    f(x)=\left\{\begin{matrix} 2(x+1)^2, x\in[-2, 0)\\ \frac32, x=0\\ 1-x, x\in(0, 1]\\ x-1, x\in(1, 2] \end{matrix}\right.
    Aceasta functie are cel mult 2 discontinuitati, in 0 si 1. Se observa deasemenea ca aceasta este marginita(pot sa scriu mai in detaliu asta, daca doresti, dar poti folosi in general monotonia acestor functii pentru a le demonstra marginirea;nu cred insa ca este necesar deoarece se vede si vizual acest lucru). Rezulta atunci ca functia f este integrabila(orice functie marginita care are un numar finit de discontinuitati este integrabila Riemann).

    b)Spargem integrala dupa intervalele pe care e definita si functia:
    I=\int_{-2}^{2}f(x)dx=\int_{-2}^0f(x)dx+\int_0^1f(x)dx+\int_1^2f(x)dx=\int_{-2}^02(x+1)^2dx+\int_0^1(1-x)x+\int_1^2(x-1)dx=\int_{-2}^0(2x^2+4x+2)dx+\int_0^1(1-x)x+\int_1^2(x-1)dx=(\frac23x^3+2x^2+2x)|_0^{-2}+(x-\frac12x^2)|_0^1+(\frac12x^2-x)|_1^2=(\frac23(-2)^3+2(-2)^2+2(-2))-(\frac23\cdot0+2\cdot0^2+2\cdot0)+(1-\frac12\cdot1^2)-(0-\frac12\cdot0^2)+(\frac122^2-2)-(\frac12\cdot1^2\cdot1^2-1)=(-\frac23\cdot8+8-4)+(1-\frac12)+(\frac42-2)-(\frac12-1)=(-\frac{16}3+4)+\frac12+(2-2)-(-\frac12)=-\frac{16}{3}+4+\frac12+\frac12=-\frac{16}{3}+5=-\frac{16}{3}+\frac{15}{3}=-\frac13
    Poate ca ai observat ca faptul ca f(0)=\frac32 nu joaca niciun rol in aceasta integrala. In general, un numar finit de puncte dintr-o integrala nu schimba valoarea acesteia.

    • 1
Raspunde

Raspunde