Home/ Intrebari/Q 64354
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Denysuk
Pe: 2007-11-14T12:54:31+02:00

verifica relatia

Sa se arate ca functia f definita pe R cu valori in R, f(x)=acolada din:
2x+3, xmai mare sau egal ca 0 si radical din x la patrat+6x+9 unde xmai mic ca 0,.functia f admite primitive pe R si sa se determine primitiva F care verifica relatia: F(o)+f(-3)=-4,5.

1 raspuns

  1. red12dog34
    veteran (III)

    f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2x+3, & x\geq 0\\\sqrt{x^2+6x+9}, & x<0\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{cc}2x+3, & x\geq 0\\|x+3|, & x<0\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{cc}2x+3, & x\geq 0\\x+3, & -3<x<0\\-x-3, & x\leq -3\end{array}\right.

    f este continua pe R (demonstreaza!), deci admite primitive.
    O primitiva este de forma
    F(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2+3x+c_1, & x\geq 0\\\frac{x^2}{2}+3x+c_2, & -3<x<0\\-\frac{x^2}{2}-3x+c_3, & x\leq -3\end{array}\right.

    Pentru ca F sa fie intr-adevar primitiva a lui f trebuie ca F sa fie continua.
    Problema continuitatii se pune in punctele x=0, \ x=-3 (in rest F este continua). Atunci:

    F(0+0)=\lim_{x\searrow 0}(x^2+3x+c_1}=c_1=F(0)
    F(0-0)=\lim_{x\nearrow 0}\left(\frac{x^2}{2}+3x+c_2\right)=c_2
    Rezulta c_1=c_2

    F(-3+0)=\lim_{x\searrow -3}\left(x^2+3x+c_2\right)=c_2-\frac{9}{2}
    F(-3-0)=\lim_{x\nearrow -3}\left(-\frac{x^2}{2}-3x+c_3\right)=c_3+\frac{9}{2}=F(-3)
    Rezulta c_2-\frac{9}{2}=c_3+\frac{9}{2}

    Fie c_1=c. Atunci c_2=c, \ c_3=-9+c
    Rezulta F(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2+3x+c, & x\geq 0\\\frac{x^2}{2}+3x+c, & -3<x<0\\-\frac{x^2}{2}-3x-9+c, & x\leq -3\end{array}\right.

    Acum, din conditia din enunt, avem:
    F(0)+f(-3)=-4,5\Rightarrow c=-4,5
    Atunci F(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2+3x-4,5, & x\geq 0\\\frac{x^2}{2}+3x-4,5, & -3<x<0\\-\frac{x^2}{2}-3x-13,5, & x\leq -3\end{array}\right.

Raspunde

Raspunde