Home/ Intrebari/Q 64349
In Process
ceva2007
user (0)
Pe: 2007-11-13T18:56:14+02:00

progresii geometrice

Sa se arate ca daca a , b , c formeaza o progresie geometrica atunci

    \[ a^2 b^2 c^2 (\frac{1}{{a^3 }} + \frac{1}{{b^3 }} + \frac{1}{{c^3 }}) = a^3 + b^3 + c^3 \]

Va rog frumos sa ma ajutati cu rezolvarea acestui exercitiu 😳

2 raspunsuri

  1. profesor

    Numerele a,b,c formeaza o progresie geometrica (in aceasta ordine) daca si numai daca b^2 = ac (relatie echivalenta cu faptul ca b este media geometrica a lui a si c, b = \sqrt {ac} ).

    Inlocuind b^2 = ac, membrul stang al egalitatii din enunt devine:

        \[ \begin{array}{l} a^2 b^2 c^2 \cdot \left( {\frac{1}{{a^3 }} + \frac{1}{{b^3 }} + \frac{1}{{c^3 }}} \right) = a^3 c^3 \cdot \left( {\frac{1}{{a^3 }} + \frac{1}{{ac\sqrt {ac} }} + \frac{1}{{c^3 }}} \right) = \\ = c^3 + \frac{{a^2 c^2 }}{{\sqrt {ac} }} + a^3 = c^3 + ac\sqrt {ac} + a^3 = c^3 + b^3 + a^3 \\ \end{array} \]

    • 0
  2. user (0)

    Daca a, b, c formeaza o progresie geometrica atunci

        \[ b^2 = ac \Rightarrow b^6 = a^3 c^3 \]

    Plecand de la membrul stang al elagitatii, prin inlocuire obtinem

        \[ \begin{array}{l} a^2 b^2 c^2 \left( {\frac{1}{{a^3 }} + \frac{1}{{b^3 }} + \frac{1}{{c^3 }}} \right) = a^2 acc^2 \left( {\frac{1}{{a^3 }} + \frac{1}{{b^3 }} + \frac{1}{{c^3 }}} \right) = \\ = a^3 c^3 \left( {\frac{1}{{a^3 }} + \frac{1}{{b^3 }} + \frac{1}{{c^3 }}} \right) = c^3 + \frac{{a^3 c^3 }}{{b^3 }} + a^3 = \\ = c^3 + \frac{{b^6 }}{{b^3 }} + a^3 = a^3 + b^3 + c^3 \\ \end{array} \]

    • 0
Raspunde

Raspunde