Home/ Intrebari/Q 64300
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Hitman
Pe: 2007-11-07T18:22:41+02:00

limite…sirul remarcabil…

Salut! am si eu de facut o demonstratie(referitoare la sirul remarcabil

    \[ e_n = (1 + \frac{1}{n})^n \]

) adica mai exact trebuie sa studiez marginirea sirului, monotonia. Apoi mai am un sir:

    \[ En = 1 + \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} + ... + \frac{1}{{n!}} \]

si trebuie sa arat ca este convergent la e, folosind monotonia si marginirea. NR. e este un numar irational, avand valoarea aprox. e=2,71828

6 raspunsuri

  1. ex-admin
    profesor

    Folosim binomul lui Newton:

        \[ \begin{array}{l} e_n = \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n = 1 + C_n^1 \cdot \frac{1}{n} + C_n^2 \cdot \frac{1}{{n^2 }} + ... + C_n^n \cdot \frac{1}{{n^n }} \\ \Rightarrow \\ e_n = 1 + 1 + \frac{1}{{2!}} \cdot \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{n^2 }} + \frac{1}{{3!}} \cdot \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{{n^3 }} + ... + \frac{1}{{n!}} \cdot \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)... \cdot 2 \cdot 1}}{{n^n }} \\ \Rightarrow \\ e_n = 2 + \frac{1}{{2!}}\left( {1 - \frac{1}{n}} \right) + \frac{1}{{3!}}\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\left( {1 - \frac{2}{n}} \right) + ... + \frac{1}{{n!}}\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\left( {1 - \frac{2}{n}} \right)...\left( {1 - \frac{{n - 1}}{n}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right) \\ \end{array} \]

    .

    Relatia (1) astfel obtinuta este importanta in demonstratie. Se va folosi in mai multe randuri.

    Marginirea lui e_n:

        \[ 2 < e_n < 2 + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + ... + \frac{1}{{n!}} < 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{2^2 }} + ... + \frac{1}{{2^{n - 1} }} = 2 + \frac{{\frac{1}{{2^n }} - \frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2} - 1}} = 2 + \left( {1 - \frac{1}{{2^{n - 1} }}} \right) < 3 \]

    .

    Monotonia lui e_n:

        \[ e_{n + 1} = 2 + \frac{1}{{2!}}\left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) + \frac{1}{{3!}}\left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{2}{{n + 1}}} \right) + ... + \frac{1}{{(n + 1)!}}\left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{2}{{n + 1}}} \right)...\left( {1 - \frac{n}{{n + 1}}} \right) \]

    Observand ca \; \frac{1}{{2!}}\left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) > \frac{1}{{2!}}\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\;,\;\;\frac{1}{{3!}}\left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{2}{{n + 1}}} \right) > \frac{1}{{3!}}\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\left( {1 - \frac{2}{n}} \right)\;,\;... \;
    rezulta ca in suma lui e_{n+1} avem si mai multi termeni decat cei din formula lui e_n cat si mai mari. In concluzie:

        \[ e_{n + 1} > e_n \]

    .

    Inainte de a trece la sirul E_n trebuie sa notati ca definitia numarului e=2,71… este tocmai aceea de limita a sirului e_n, limita a carei existenta tocmai am demonstrat-o mai sus (marginit simonoton => convergent). Deci:
    e = \limits^{def} {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n \]

    Sa revenim la sirul E_n.

    Monotonia este evidenta (va dati seama de ce?) iar marginirea a fost demonstrata deja mai sus in prezenta rezolvare (ati gasit-o?).

    Ramane sa aratam ca limita sa este egala cu e.

    Folositi-va de monotonia celor doua siruri, cat si de relatia

        \[ e_n < E_n \]

    , deja demonstrata mai sus.

    Daca nu va descurcati, reveniti !

  2. Hitman

    Multumesc mult…sper sa ma descurc 😀

  4. Hitman

    Am rezolvat problema de mai sus, dar mai trebuie sa arat ca sirulu

        \[ e'_n = (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} \]

    este strict descrescator si marginit inferior. Imi treb demonstratia pentru a arata ca e<

        \[ (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} \]

    .

  5. ex-admin
    profesor

    Hitman wrote: Am rezolvat problema de mai sus, dar mai trebuie sa arat ca sirulu

        \[ e'_n = (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} \]

    este strict descrescator si marginit inferior. Imi treb demonstratia pentru a arata ca e<

        \[ (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} \]

    .

    Exista cateva modalitati de a demonstra ca e'_n = (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} este descrescator.

    Mai intai as vrea sa-mi clarifici daca intr-adevar ai finalizat problema anterioara (ramasese sa arati ca limita sirului E_n este egala cu e) sau tocmai pentru asta crezi ca este nevoie de ceea ce ai cerut acum ?

  6. ex-admin
    profesor

    Hitman wrote: Am rezolvat problema de mai sus, dar mai trebuie sa arat ca sirulu

        \[ e'_n = (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} \]

    este strict descrescator si marginit inferior. Imi treb demonstratia pentru a arata ca e<

        \[ (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} \]

    .

    Faptul ca sirul este marginit inferior este evident (>1).
    Iata o demonstratie a monotoniei:

    Din binomul lui Newton avem \; \left( {1 + x} \right)^n > 1 + nx\; pentru orice x pozitiv, de unde pentru \[ x = \frac{1}{{n^2 - 1}} rezulta:

        \[ \left( {1 + \frac{1}{{n^2 - 1}}} \right)^n > 1 + n \cdot \frac{1}{{n^2 - 1}} \]

    .

    Observand ca \;1 + \frac{1}{{n^2 - 1}} = \frac{{n^2 }}{{n^2 - 1}} = \frac{n}{{n - 1}} \cdot \frac{n}{{n + 1}} \; si \;1 + n \cdot \frac{1}{{n^2 - 1}} > 1 + \frac{1}{n} \;,
    din inegalitatea anterioara obtinem succesiv:

        \[ \begin{array}{l} \left( {\frac{n}{{n - 1}}} \right)^n \cdot \left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)^n > 1 + \frac{1}{n} = \frac{{n + 1}}{n} \Rightarrow \\ \left( {1 + \frac{1}{{n - 1}}} \right)^n > \left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)^n \cdot \frac{{n + 1}}{n} \Rightarrow \\ \left( {1 + \frac{1}{{n - 1}}} \right)^n > \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{n + 1} \\ \end{array} \]

    .

    Demonstratia este incheiata.

  8. Hitman

    Am reusit sa arat ca limita sirului En este e, referitor la ultimul sir

        \[ e'_n = (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} \]

    , trebuia sa demonstrez ca este strict descrescator si marginit inferior(de catre e iar e este si limita lui), pentru a sustine inegalitatea:

        \[ (1 + \frac{1}{n})^n < e < (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} ,\forall n \ge 1 \]

    . M-am uitat pe demonstratie, dar ati aratat ca:

        \[ 1 < (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} < (1 + \frac{1}{{n - 1}})^n \]

    , deci presupun ca sirul

        \[ (1 + \frac{1}{{n - 1}})^n \]

    are limita finita ?? Cred ca nici eu nu m-am exprimat corect, sper sa intelegeti.

Raspunde

Raspunde