Home/ Intrebari/Q 64284
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

ceva2007
user (0)
Pe: 2007-11-06T17:27:06+02:00

suma + inductie IX

Calculati

    \[ s_n = 1 \times 5 + 2 \times 8 + 3 \times 11 + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + n\left( {3n + 2} \right) \]

Demonstrati prin inductie :

    \[ \left( {7^{4n + 5} - 7} \right) \vdots 210 \]

Astept raspunsul d-voastra ….Multumesc anticipat 😳 !

2 raspunsuri

  1. ex-admin
    profesor

    \begin{array}{l} S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 11 + ... + n\left( {3n + 2} \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {k\left( {3k + 2} \right)} = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {3k^2 + 2k} \right)} \\ \Rightarrow S = 3 \cdot \sum\limits_{k = 1}^n {k^2 } + 2 \cdot \sum\limits_{k = 1}^n k \\ \end{array}

    Apoi folositi formulele:

    \sum\limits_{k = 1}^n k = \frac{{n\left( {n + 2} \right)}}{2} \; si \;\sum\limits_{k = 1}^n {k^2 } = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}

  2. ex-admin
    profesor

    Etapa demonstratiei:

        \[ \;P\left( k \right) \Rightarrow P\left( {k + 1} \right)\; \]

    Presupunem adevarata ipoteza de inductie \[ \;7^{4k + 5} - 7\; \vdots \;210 \; si demonstram ca:

        \[ \;7^{4\left( {k + 1} \right) + 5} - 7\; \vdots \;210\; \]

    .

    Avem:

        \[ \;7^{4\left( {k + 1} \right) + 5} - 7 = 7^{4k + 9} - 7 \]

    ,

    iar acum facem artificiul cel mai „dificil”: inlocuim fortat \;7^{4k + 9} - 7\; cu \;7^{4k + 5} - 7\;, completand apoi cu ceea ce este necesar pentru ca egalitatea sa fie corecta:

    \[ \begin{array}{l} 7^{4k + 9} - 7 = \left( {7^{4k + 5} - 7} \right) \cdot ... \\ 7^{4k + 9} - 7 = \left( {7^{4k + 5} - 7} \right) \cdot 7^4 + ... \\ 7^{4k + 9} - 7 = \left( {7^{4k + 5} - 7} \right) \cdot 7^4 + (7^5 - 7) \\ \end{array}

    Acum nu trebuie decat sa remarcam ca

        \[ \;7^{4k + 5} - 7\; \vdots \;210\; \]

    (ipoteza de inductie) si

        \[ \;7^5 - 7\; \vdots \;210\; \]

    (efectuati calculul).

    Demonstratia este finalizata!!!

Raspunde

Raspunde