Home/ Intrebari/Q 64264
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

romansebi
Pe: 2007-11-03T11:07:29+02:00

inductia matematica

am 2 problem …care nu le stiu rezolva …..va rog sa ma ajutati ….
1*4+2*7+3*10+…………….+n(3n+1)=n(n+1)*(n+1)

15 raspunsuri

  1. ex-admin
    profesor

    Avei rezolvarea in fisierul imagine atasat.
    (Atentie, trebuie sa fiti logat pentru a putea accesa atasamentele!)

    Attached files

  2. CobraRB

    salut,ma ajutati si pe mine va rog? am o problema cu 2 exercitii

    a)sa se demonstreze daca n>=5 atunci 2 la n > n la 2

    b) sa se demonstreze daca n >= 10 atunci 2 la n > n la 3

    c)sa se determine numerele naturale n astfel incat 2 la 3n+1 < (n+4) la 2

    help pls

  4. CobraRB

    CobraRB wrote: salut,ma ajutati si pe mine va rog? am o problema cu 2 exercitii


    3 exercitii scuze

  5. ex-admin
    profesor

    CobraRB wrote: salut,ma ajutati si pe mine va rog? am o problema cu 2 exercitii

    a)sa se demonstreze daca n>=5 atunci 2 la n > n la 2

    b) sa se demonstreze daca n >= 10 atunci 2 la n > n la 3

    c)sa se determine numerele naturale n astfel incat 2 la 3n+1 < (n+4) la 2

    help pls

    Te voi ajuta la primul exercitiu, celelalte fiind asemanatoare.

    Deoarece ai postat aici, e clar ca stii ca metoda de domonstrare este cea prin inductie matematica.

    Sper de asemenea ca ai inteles metoda in sine (pasii respectivi), iar digficultatea este aceea de a demonstra P\left( n \right) \Rightarrow P\left( {n + 1} \right), adica presupunand adevarat ca 2^n > n^2 (ipoteza de inductie), sa demonstrezi ca 2^{n + 1} > \left( {n + 1} \right)^2 .

    Avem:

        \[ 2^{n + 1} = 2 \cdot 2^n > 2 \cdot n^2 > \left( {n + 1} \right)^2 \]

    ,
    si in acest sir de inegalitati singura care mai trebuie argumentata este ultima:

        \[ 2 \cdot n^2 > \left( {n + 1} \right)^2 \]

    .

    Aceasta este echivalenta succesiv cu:

    \[ 2n^2 > \left( {n + 1} \right)^2 \Leftrightarrow 2n^2 > n^2 + 2n + 1 \Leftrightarrow n^2 - 2n - 1 > 0 \Leftrightarrow n\left( {n - 2} \right) - 1 > 0 ,
    evident adevarata pentru n \ge 5, caci:

        \[ n \ge 5 \Rightarrow n\left( {n - 2} \right) - 1 \ge 5 \cdot \left( {5 - 2} \right) - 1 = 14 > 0 \]

  6. CobraRB

    multumesc pentru ca m-ai ajutat 😀

  8. CobraRB

    dar inca intampin o problema la ex. 2 la 3n+1 < (n+4) la a2a

    ❓ ❓ nu imi iese

  9. ex-admin
    profesor

    CobraRB wrote: dar inca intampin o problema la ex. 2 la 3n+1 < (n+4) la a2a

    ❓ ❓ nu imi iese

    Mai intai te rog sa remarci ca la acest exercitiu enuntul este putin diferit.
    Se cere sa determinam numerele naturale n pentru care :
    2^{3n + 1} < \left( {n + 4} \right)^2 .

    Vei proceda astfel:

    Dai pe rand valori lui n (n=1, n=2, …) pana cand inegalitatea se schimba.
    De fapt acest lucru se intampla chair incepand cu n=2.

    2^{3n + 1} > \left( {n + 4} \right)^2

    Deoarece exponentiala „creste mai repede” decat functia putere, banuim ca pentru orice n \ge 2 avem 2^{3n + 1} > \left( {n + 4} \right)^2.
    Trebuie insa ca aceasta afirmatie sa o si demonstram (prin inductie).

    Partea cea mai grea, P(n) => P(n+1), este urmatoarea:
    Presupunem \[ 2^{3n + 1} > \left( {n + 4} \right)^2 si demonstram ca \[ 2^{3\left( {n + 1} \right) + 1} > \left( {\left( {n + 1} \right) + 4} \right)^2 , adica \[ 2^{3n + 4} > \left( {n + 5} \right)^2 .

    Avem:

        \[ 2^{3n + 4} = 2^3 \cdot 2^{3n + 1} > 8 \cdot \left( {n + 4} \right)^2 > \left( {n + 5} \right)^2 \]

    .

    Intr-adevar,
    \[ 8\left( {n + 4} \right)^2 > \left( {n + 5} \right)^2 \Leftrightarrow 8n^2 + 64n + 128 > n^2 + 10n + 5 \Leftrightarrow 7n^2 + 54n + 123 > 0 ,
    ultima inegalitate fiind evident adevarata de vreme ce toti trei termeni ai sumei din membrul stang sunt numere naturale, deci pozitive.

    Concluzia problemei: Numerel naturale pentru care 2^{3n + 1} < \left( {n + 4} \right)^2 sunt n=0 si n=1.

  10. CobraRB

    chiar cred k esti o persoana foarte altruista,ne ajuti pe toti

  12. AlinutsStylle

    Am si eu o problema pe care m-am chinuit toata ziua sa o fac..
    1 la a2a + 2 la a2a +3 la a2a+…+n la a2a=n(n+1)(2n+1)/6

  13. DD
    profesor

    Expresia data se numeste „fraza matematica” si se noteaza cu P(n). Problema este sa demonstrezi daca P(n) este adevarat pentru orice valoare a lui „n” -numit parametru, numar natural. Pentru aceasta se foloseste metoda inductiei matematice. Metoda are 3 pasi. Pasul 1]. Se scrie „fraza” pentru valoarea parametrului egala cu 1 si se verifica daca este adevarata. Deci P(1)-> (1 la patrat)= 1.(1+1).(2.1+1)/6 si se vede ca reatia este adevarata. Pasul 2]. Se PRESUPUNE ca „fraza” data initial-P(n) este adevarata. Pasul 3]. Se scrie „fraza” pentru valoarea parametrului egala cu (n+1), adica P(n+1), si folosind ceeace am presupus la pasul 2], demonstram daca P(n+1) este sau nu adevarat. Deci; P(n+1)-> (1 la patrat)+(2 la patrat)+(3 la patrat)+….+(n la patrat) + ([n+1] la patrat)=(n+1).([n+1]+1).(2.[n+1]+1)/6. Conf. pasului 2] vom inlocui , in membrul stang, primii n termeni cu n.(n+1).(2.n+1)/6 si expresi devine ; n.(n+1).(2.n+1)/6+([n+1] la patrat)=(n+1).(n+2).(2.n+3)/6 ,ceeace este adevarat. Daca pasul 1]. si pasul 3] dovedesc ca fraza ,pentru acesti pasi ,este adevarata ,atunci P(n) este adevarata pentru orice valoare a lui „n”.GATA

  14. maryus04

    1*2*3…k+2*3…k(k+1)+…+n(n+1)…(n+k-1)=n(n+1)(n+2)…(n+k) totul supra k+1, unde k >= 2 si n >= 1 sunt nr. nat.

    ajutor. va rog.

  16. DD
    profesor

    Acum este cam tarziu . pe maine joi 27 ian

  17. DD
    profesor


    Expresia data se numeste „fraza matematica” si se noteaza cu P(n) si trebue sa se demonstreze ca, P(n) este adevarata pentru orce valoare a lui „n”, numar natural si n>=1. Pentru aceasta demonstratie , se folosesc 3 pasi . Deci;
    Pasul 1]. Trebue demonstrat ca P(1) este adevarat. In acest caz P(1) este ; 1.2.3…..,k=1.2.3….k.(k+1)/(k+1) , ceea ce este adevarat . (in expresia data ,P(n), s-a facut n=1 )
    Pasul 2]. Se PRESUPUNE ca P(n) este adevarat , ceea ce se poate folosi in pasul 3]. .
    Pasul 3]. Trebue sa se demonstreze ca P(n+1) este adevarat , folosind pasul 2]. In acest caz P(n+1) este; 1.2.3…..k+2.3.4….k.(k+1)+3.4.5….k.(k+1).(k+2)+….+n.(n+1).(n+2).(n+3)…..(n+k-1)+(n+1).(n+2).(n+3)….(n+k-1).(n+k)=(n+1).(n+2).(n+3)…..(n+k).(n+k+1)/(k+1) . Vom inlocui , primii „n” termeni , conf. expresiri P(n), considerat adevarat in pasul 2]. . In acest caz expresia P(n+1) devine ;
    n.(n+1).(n+2)….(n+k)/(k+1)+ (n+1).(n+2).(n+3)….(n+k)=(n+1).(n+2).(n+3)…..(n+k).(n+k+1)/(k+1). Simplificand expresia cu ; (n+1).(n+2).(n+3)….(n+k) , obtinem; n/(k+1)+1=(n+k+1)/(k+1) ceea ce este adevarat . In cazul ca pasii 1]. si 3]. sunt adevarati , atunci P(n) este adevarat pentru orice valoare ,numar natural , a lui „n”. GATA . Sunt intrebari?

  18. londra2

    Vreau si eu sa ma ajutati sa rezolv urmatoarele exercitii:

    a) 1/n+1+1/n+2+…+1/2n>=13/24, oricare n>=2.

    b) 1/2*3/4*…*2n-1/2n<1/radical din 2n+1, unde n>=1.

    c)n/2<1+1/2+1/3+1/4+…+1/2 la n-1<=n, unde n apartine numerelor naturale fara zero.

  20. anusha14

    ajutati-ma va rog, la acest exercitu, e urgent…
    p.s merci anticipat

    Attached files

Raspunde

Raspunde