Home/ Intrebari/Q 64244
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

bubu90
Pe: 2007-10-30T20:53:41+02:00

probleme cu matrici si limite

1 daca

    \[ A \in M_3 (IR) \]

, ecuatia

    \[ \det (A - xI_3 ) = 0 \]

are radacini reale si

    \[ Tr(A^2 ) = 0 \]

, atunci

    \[ A^3 = O_3 \]

2 fie sirul

    \[ (a_n )_{n \ge 1} \]

, unde

    \[ a_1 > 0 \]

si

    \[ a_{n + 1} = a_n + \frac{2}{{a_n }} \]

,

    \[ \forall n \in IN^* \]

.
calculati

    \[ {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{a_n }}{{\sqrt n }} \]

3 raspunsuri

  1. vladmartinus

    1. Pentru problema cu matrice:

        \[ \det \left( {A - xI_3 } \right) = 0 \]

    reprezinta de fapt ecuatia caracteristica a matricei, iar matricea A satisface aceasta ecuatie, evident.
    Polinomul caracteristic al matricei poate fi considerat:

        \[ p_A \left( x \right) = \det \left( {xI_3 - A} \right) = x^3 - A_I x^2 + A_{II} x - A_{III} \]

    ,
    unde coeficientii sai sunt:

        \[ \begin{array}{l} A_I = trace\left( A \right) \\ A_{II} = trace\left( {A^* } \right) = \frac{1}{{2!}}\left\{ {\left[ {trace\left( A \right)} \right]^2 - trace\left( {A^2 } \right)} \right\} \\ A_{III} = \det \left( A \right) = \frac{1}{{3!}}\left\{ {\left[ {trace\left( A \right)} \right]^3 - 3trace\left( A \right)trace\left( {A^2 } \right) + 2trace\left( {A^3 } \right)} \right\} \\ \end{array} \]

    Acum: folosim relatiile lui Viète: consideram

        \[ \lambda _1 ,\lambda _2 ,\lambda _3 \]

    radacinile ecuatiei din enunt, care sunt presupuse a fi reale. Avem:

        \[ \left\{ \begin{array}{l} \lambda _1 + \lambda _2 + \lambda _3 = A_I = trace\left( A \right) \\ \lambda _1 \lambda _2 + \lambda _2 \lambda _3 + \lambda _3 \lambda _1 = A_{II} = \frac{1}{2}\left[ {trace\left( A \right)} \right]^2 \\ \lambda _1 \lambda _2 \lambda _3 = A_{III} \\ \end{array} \right. \]

    .
    Din prima si a doua relatie rezulta imediat urmatoarele:

        \[ \left( {\lambda _1 + \lambda _2 + \lambda _3 } \right)^2 = 2\left( {\lambda _1 \lambda _2 + \lambda _2 \lambda _3 + \lambda _3 \lambda } \right) \Leftrightarrow \lambda _1 ^2 + \lambda _2 ^2 + \lambda _3 ^3 = 0 \]

    .
    Va rezulta

        \[ \lambda _1 = \lambda _2 = \lambda _3 = 0 \]

    , deci polinomul caracteristic este:

        \[ p_A \left( x \right) = x^3 \]

    .
    Concluzia este acum imediata.

  2. vladmartinus

    2. Pentru problema cu sirul.
    Impartim relatia de recurenta la

        \[ \sqrt 2 \]

    si notam

        \[ x_n = \frac{{a_n }}{{\sqrt 2 }} \]

    .

    Se observa imediat ca sirul considerat este cu termeni strict pozitivi si este strict crescator.

    Facem urmatorul „artificiu”:

        \[ x_{n + 1} = x_n + \frac{1}{{x_n }} \Rightarrow x_{n + 1} ^2 = x_n ^2 + \frac{1}{{x_n ^2 }} + 2 \]

    si introducem un nou sir,

        \[ y_n = \limits^{def} x_n ^2 ,n \ge 1 \]

    . Acest sir satisface evident relatia de recurenta:

        \[ y_{n + 1} = y_n + \frac{1}{{y_n }} + 2 \]

    .

    Scriind acum:

        \[ \left\{ \begin{array}{l} y_{n + 1} = y_n + \frac{1}{{y_n }} + 2 \\ y_n = y_{n - 1} + \frac{1}{{y_{n - 1} }} + 2 \\ ...{\rm }...{\rm }...{\rm }...{\rm }... \\ y_2 = y_1 + \frac{1}{{y_1 }} + 2 \\ \end{array} \right. \]

    si insumand membru cu membru relatiile de mai sus, se obtine:

        \[ \begin{array}{l} y_{n + 1} = y_1 + \left( {\frac{1}{{y_1 }} + \frac{1}{{y_2 }} + ... + \frac{1}{{y_n }}} \right) + 2n \Rightarrow \\ y_n = y_1 + \left( {\frac{1}{{y_1 }} + \frac{1}{{y_2 }} + ... + \frac{1}{{y_{n - 1} }}} \right) + 2\left( {n - 1} \right) \\ \end{array} \]

    .
    Va rezulta ca sirul

        \[ \left( {y_n } \right) \]

    este strict crescator si nemarginit, deci are limita +infinit. De aici si din relatia de recurenta pentru acest sir rezulta imediat ca:

        \[ {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {y_{n + 1} - y_n } \right) = 2. \]

    Calculam acum

        \[ {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{y_n }}{n} \]

    folosind Stolz-Cesaro. Evaluam limita

        \[ {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{y_{n + 1} - y_n }}{{\left( {n + 1} \right) - n}} = {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {y_{n + 1} - y_n } \right) = 2, \],

    deci limita

        \[ {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{y_n }}{n} = 2 \]

    exista si ea si este egala cu 2. Mai ramane de observat doar ca

        \[ \frac{{y_n }}{n} = \left( {\frac{{x_n }}{n}} \right)^2 \]

    .
    Problema este complet rezolvata.

  4. bubu90

    😯 ….thank you, thank you…a milion thenk you….multumesc mult!

Raspunde

Raspunde