Home/ Intrebari/Q 64200
In Process
ceva2007
user (0)
Pe: 2007-10-22T16:40:47+03:00

inductie matematica clasa IX .. rezolvare …

Folosind medota inductiei matematice,sa se demonstreze ca pentru orice numar natural n , este adevarata egalitatea :

    \[ 2^2 + 6^2 + ........ + \left( {4n - 2} \right)^2 = \frac{{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3} \]

Multumesc anticipat si astept ajutorul dumneavoastra ….. 😳

10 raspunsuri

  1. profesor

    In metoda inductiei matematice dificultatile elevilor sunt urmatoarele:

    1) Formarea propozitiei P(n+1).

    La noi, daca notam propozitia de deomnstrat cu P(n),

    P\left( n \right):2^2 + 6^2 + ... + \left( {4n - 2} \right)^2 = \frac{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}{3}

    atunci inlocuind n cu n+1 pbtinem P(n+1),

    P\left( {n + 1} \right):2^2 + 6^2 + ... + \left( {4n - 2} \right)^2 + \left( {4n + 2} \right)^2 = \frac{4\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}{3} .

    Observati ca am scris si penultimul termen al sumei din P(n+1), deoarece acesta coincide cu ultimul termen al sumei din P(n), si ne va fi de folos in etapa urmatoare. Iar pentru cei care nu inteleg de unde am obtinut \left( {4n + 2} \right)^2 , explicatia este: 4\left( {n + 1} \right) - 2 = 4n + 2 !

    2) Demonstrarea implicatiei P\left( n \right) \Rightarrow P\left( {n + 1} \right).

    Relatia P(n) se considera adevarata (se numeste ipoteza de inductie). Va trebui ca folosind-o, sa demonstram relatia P(n+1). In exercitiul nostru, avem:

    \begin{array}{l} 2^2 + 6^2 + ... + \left( {4n - 2} \right)^2 + \left( {4n + 2} \right)^2 = \underbrace {2^2 + 6^2 + ... + \left( {4n - 2} \right)^2 }_{P\left( n \right)} + \left( {4n + 2} \right)^2 \\ . \\ =\frac{ 4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}{3} + \left( {4n + 2} \right)^2 \\ . \\ = \frac{4\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}{3} \\ \end{array} .

    Observatie: Demonstrarea egalitatiii \frac{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}{3} + \left( {4n + 2} \right)^2 = \frac{4\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}{3} se poate face si efectuand calculele numai in membrul stang astfel incat sa il descompunem in factori, dar este mult mai practic sa efectuam calculele in ambii membrii ai egalitatii, si sa constatam egalitatea !!!

    • 0
  2. user (0)

    imi cer scuze dar am uitat sa pun tot membrul din dreapta( adica 4n(2n-1)(2n+2) ) supra 3 .lam rezolvat si eu la fel dar nu stiu unde gresesc pt ca nu imi da egalitatea dintre membrul din stanga si cel din dreapta . Cand trebuie sa aduc la acelasi numitor comun ( adica la 3) imi apare ceva de genu 3(4k+2)^2 , si facand toate calculele din aceasta paranteza cu tot cu distributivitatea imi da un nr prea mare care nu coresp cu membrul din dreapta…….. multumesc si astept raspunsul dumneavoastra!

    • 0
  4. profesor

    ceva2007 wrote: imi cer scuze dar am uitat sa pun tot membrul din dreapta( adica 4n(2n-1)(2n+2) ) supra 3 .lam rezolvat si eu la fel dar nu stiu unde gresesc pt ca nu imi da egalitatea dintre membrul din stanga si cel din dreapta . Cand trebuie sa aduc la acelasi numitor comun ( adica la 3) imi apare ceva de genu 3(4k+2)^2 , si facand toate calculele din aceasta paranteza cu tot cu distributivitatea imi da un nr prea mare care nu coresp cu membrul din dreapta…….. multumesc si astept raspunsul dumneavoastra!

    Am modificat postul de mai sus pentru a repara greselile generate de omisiunea dumneavoastra.

    Acum, spuneti ca nu reusiti sa demonstrati egalitatea:

    \frac{{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3} + \left( {4n + 2} \right)^2 = \frac{{4\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{3} ?

    Totusi, iese destul de usor:

    \begin{array}{l} \frac{{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3} + \left( {4n + 2} \right)^2 = \\ = \frac{{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3} + \left( {2\left( {2n + 1} \right)} \right)^2 = \\ = \frac{{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3} + 4\left( {2n + 1} \right)^2 = \\ = \frac{{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3} + \frac{{4 \cdot 3 \cdot \left( {2n + 1} \right)^2 }}{3} = \\ = \frac{{4\left( {2n + 1} \right) \cdot \left[ {n\left( {2n - 1} \right) + 3\left( {2n + 1} \right)} \right]}}{3} = \\ = \frac{{4\left( {2n + 1} \right) \cdot \left( {2n^2 + 5n + 3} \right)}}{3} \\ \end{array}

    Cum 2n^2 + 5n + 3 = \left( {n + 1} \right)\left( {2n + 3} \right), egalitatea este demonstrata !!!

    • 0
  5. user (0)

    – multumesc mult de tot 😀

    • 0
  6. user (0)

        \[ 2^2 + 6^2 + ........ + \left( {4n - 2} \right)^2 = \frac{{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3} \]

    am reusit 😛 … o sa fie mai usor de scris si inteles .. 😕

    • 0
  8. user (0)

    Folosind medota inductiei matematice,sa se demonstreze ca pentru orice numar natural n , sunt adevarate egalitatile :

    A) 1 la 2+2 la 2+…+n la 2=n(n+1)(2n+1) totul supra 6

    B) 1*2+2*3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2) totul supra 3

    C) 1*2*3+2*3*4+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3) totul supra 4

    ajutatima plss..

    Va multumesc anticipat….si astept raspunsurile dumneavoastra! 😳 😳

    • 0
  9. user (0)

    hi 😀
    am si eu o inductie ..
    1/1*1+1/(1*1)(2*2)+…+1/(1*1)(2*2)(3*3)…(n*n)<= (3n-1)/2n

    • 0
  10. veteran (III)

    Posteaza problema in rubrica corespunzatoare si vei primi ajutor

    • 0
  12. profesor

    Metoda inductiei matematice stabileste daca o „propozitie” matematica, ce depinde de un parametru, numar natural, este sau nu
    adevarata. Propozitia poate fi o identitate sau o inegalitate [ca in cazul tau]
    Metoda are 3 „pasi”;
    1] Se verifica daca propozitia este adevarata pentru o valoare a parametrului,in domeniul de valori date.[de obicei se ia valoarea minima admisa]. In cazul problemei date, valoarea minima a parametrului este
    n=1. Deci propozitia, pentru n=1 va avea expresia;
    1/[1*1]<=[3*1-1]/[2*1] sau 1<=1 ceea ce este adevarat
    2] Se presupune ca propozitia, cu valoarea parametrului pana la valoarea „n” este adevarata, adica;
    1/[1*1]+1/{[1*1]*[2*2]}+1/{[1*1]*[2*2]*[3*3]}+…..+1/{[1*1]*[2*2]*[3*3]*….*[n*n]}<=[3*n-1]/[2*n]
    3]Pe baza adevarului presupus la pasul 2] se verifica daca propozitia, pentru valoarea parametrului egal cu „n+1” ,este adevarat,adica;
    1/[1*1]+1/{[1*1]*[2*2]}+1/{[1*1]*[2*2]*[3*3]}+…+1/{[1*1]*[2*2]*[3*3]*….*[n*n]*[n+1]*[n+1]<=[3{n+1}-1]/{2*{n+1}] vezi cont.

    • 0
  13. profesor

    [continuare] Primii „n” termeni, din expresia dela pasul 3],{tinand seama de ce am presupus la pasul 2]},ii vom inlocui cu valoarea;
    [3*n-1]/[2*n] {ceea ce este in defavoare inegalitatiide la pasul 3]}.
    In acest caz, expresia dela pasul 3] devine;
    [3*n-1]/[2*n]+1/{[1*1]*[2*2]*..*[n+1]*[n+1]<=[3*n+2]/[2*n+2]
    Neglijand al doilea termen din primul membru ,vom avea;
    [3*n-1]/[2*n]<[3*n+2]/[2*n+2] ceeace este adevarat
    Avand in vedere ca pasul 1] este adevarat si in baza presupunerii dela
    pasul 2] si pasul 3] este adevarat, rezulta ca propozitia matematica data este adevarata.

    • 0
Raspunde

Raspunde