Inregistrare

Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.

Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.

Aveti deja cont ? Login


Aveti deja cont ? Autentificare

Login

Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.

Inregistrare

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare

Resetare parola

V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.

Aveti deja cont ? Autentificare

Va rugam sa va autentificati.

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare

Please briefly explain why you feel this question should be reported.

Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.

Motivul pentru care raportezi utilizatorul.

LoginInregistrare

AniDeȘcoală.ro

AniDeȘcoală.ro Logo AniDeȘcoală.ro Logo

AniDeȘcoală.ro Navigation

  • TEME
  • FUN
  • SCOALA
  • DEX
  • PARENTING
CAUTA
PUNE O INTREBARE

Mobile menu

Inchide
PUNE O INTREBARE
  • HOME
  • TEME
    • Matematica
    • Limba romana
    •  Istorie
    •  Chimie
    • Biologie
    • Geografie
    •  Fizica
    • Informatica
    • Limbi straine
      • Engleza
      • Franceza
      • Germana
      • Altele
    • Diverse
    • Provocari
  • FUN
    • Povești pentru copii
      • Povesti nemuritoare
      • Povesti scurte cu talc
      • Alexandru Mitru
      • Anton Pann
      • Calin Gruia
      • Constanta Nitescu
      • Dumitru Almas
      • Elia David
      • Emil Garleanu
      • Grigore Alexandrescu
      • Ion Creanga
      • Ion Luca Caragiale
      • Marcela Penes
      • Marin Sorescu
      • Petre Ispirescu
      • Victor Eftimiu
      • Alti autori romani
      • Autori straini
        • Antoine de Saint Exupery
        • Charles Perrault
        • Edmondo de Amicis
        • Erika Scheuering
        • Esop
        • Felix Salten
        • Fraţii Grimm
        • Hans Christian Andersen
        • Jean de la Fontaine
        • Johanna Spyri
        • Lev Nicolaevici Tolstoi
        • Rudyard Kipling
        • Virginia Waters
        • Alti autori straini
    • Poezii
      • Grigore Vieru
      • Elena Farago
      • George Toparceanu
      • George Cosbuc
      • Mihai Eminescu
      • Nicolae Labis
      • Otilia Cazimir
      • Tudor Arghezi
      • Vasile Alecsandri
      • Alti autori
    • Stiati ca...
      • Romania
      • Sistemul solar
      • Plante
      • Animale
      • Superlative geografice
      • Altele
    • Citate celebre
    • Proverbe
    • Ghicitori
    • Glume si bancuri
    • Teste de cultura generala
    • Teste de personalitate
    • Probleme distractive
    • Activitati educative
    • Sfaturi practice
    • Planșe de colorat
    • Jocuri in aer liber
    • Abilitati practice
    • Jocuri distractive
    • Cantece pentru copii
    • Codul bunelor maniere
  • SCOALA
    • Matematica
      • Formule Algebra
      • Formule Geometrie
      • Formule Analiza
    • Gramatica
      • Stii sa scrii ?!
      • Părți de propoziție
      • Părți de vorbire
      • Cazurile
      • Sintaxa
      • Diverse
    • Limba romana
      • Bacalaureat
      • Abecedar
    • Cultura generala
  • IARNA
    • Colinde pentru copii
    • Povești de iarnă
    • Povești de Crăciun
    • Craciunul ... ce, cum, cand ?
  • DEX
  • PARENTING
  • PUNCTE SI RANGURI
  • FAQ
  • CONTACT
Home/ Intrebari/Q 64200
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

ceva2007
ceva2007
Pe: 22 octombrie 20072007-10-22T16:40:47+03:00 2007-10-22T16:40:47+03:00

inductie matematica clasa IX .. rezolvare …

Folosind medota inductiei matematice,sa se demonstreze ca pentru orice numar natural n , este adevarata egalitatea :

     	\[ 	2^2  + 6^2  + ........ + \left( {4n - 2} \right)^2  = \frac{{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3} 	\]

Multumesc anticipat si astept ajutorul dumneavoastra ….. 😳

  • 0
  • 0
  • 1010
  • 0
  • Share
    • Share pe Facebook
    • Share pe Twitter
    • Share pe WhatsApp

10 raspunsuri

  1. ex-admin
    ex-admin profesor
    2007-10-22T18:10:29+03:00A raspuns pe 22 octombrie 2007 la 6:10 PM

    In metoda inductiei matematice dificultatile elevilor sunt urmatoarele:

    1) Formarea propozitiei P(n+1).

    La noi, daca notam propozitia de deomnstrat cu P(n),

     	P\left( n \right):2^2  + 6^2  + ... + \left( {4n - 2} \right)^2  = \frac{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}{3}

    atunci inlocuind n cu n+1 pbtinem P(n+1),

     	P\left( {n + 1} \right):2^2  + 6^2  + ... + \left( {4n - 2} \right)^2  + \left( {4n + 2} \right)^2  = \frac{4\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}{3} 	.

    Observati ca am scris si penultimul termen al sumei din P(n+1), deoarece acesta coincide cu ultimul termen al sumei din P(n), si ne va fi de folos in etapa urmatoare. Iar pentru cei care nu inteleg de unde am obtinut \left( {4n + 2} \right)^2 , explicatia este:  	4\left( {n + 1} \right) - 2 = 4n + 2 	!

    2) Demonstrarea implicatiei P\left( n \right) \Rightarrow P\left( {n + 1} \right).

    Relatia P(n) se considera adevarata (se numeste ipoteza de inductie). Va trebui ca folosind-o, sa demonstram relatia P(n+1). In exercitiul nostru, avem:

     	\begin{array}{l} 	 2^2  + 6^2  + ... + \left( {4n - 2} \right)^2  + \left( {4n + 2} \right)^2  = \underbrace {2^2  + 6^2  + ... + \left( {4n - 2} \right)^2 }_{P\left( n \right)} + \left( {4n + 2} \right)^2  \\ 	 . \\ 	  =\frac{ 4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}{3} + \left( {4n + 2} \right)^2  \\ 	 . \\ 	  = \frac{4\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}{3} \\ 	 \end{array} 	.

    Observatie: Demonstrarea egalitatiii \frac{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}{3} + \left( {4n + 2} \right)^2  = \frac{4\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}{3} 	se poate face si efectuand calculele numai in membrul stang astfel incat sa il descompunem in factori, dar este mult mai practic sa efectuam calculele in ambii membrii ai egalitatii, si sa constatam egalitatea !!!

      • 0
    • Raspunde
  2. ceva2007
    ceva2007
    2007-10-22T18:55:19+03:00A raspuns pe 22 octombrie 2007 la 6:55 PM

    imi cer scuze dar am uitat sa pun tot membrul din dreapta( adica 4n(2n-1)(2n+2) ) supra 3 .lam rezolvat si eu la fel dar nu stiu unde gresesc pt ca nu imi da egalitatea dintre membrul din stanga si cel din dreapta . Cand trebuie sa aduc la acelasi numitor comun ( adica la 3) imi apare ceva de genu 3(4k+2)^2 , si facand toate calculele din aceasta paranteza cu tot cu distributivitatea imi da un nr prea mare care nu coresp cu membrul din dreapta…….. multumesc si astept raspunsul dumneavoastra!

      • 0
    • Raspunde
  3. ex-admin
    ex-admin profesor
    2007-10-22T19:57:38+03:00A raspuns pe 22 octombrie 2007 la 7:57 PM

    ceva2007 wrote: imi cer scuze dar am uitat sa pun tot membrul din dreapta( adica 4n(2n-1)(2n+2) ) supra 3 .lam rezolvat si eu la fel dar nu stiu unde gresesc pt ca nu imi da egalitatea dintre membrul din stanga si cel din dreapta . Cand trebuie sa aduc la acelasi numitor comun ( adica la 3) imi apare ceva de genu 3(4k+2)^2 , si facand toate calculele din aceasta paranteza cu tot cu distributivitatea imi da un nr prea mare care nu coresp cu membrul din dreapta…….. multumesc si astept raspunsul dumneavoastra!

    Am modificat postul de mai sus pentru a repara greselile generate de omisiunea dumneavoastra.

    Acum, spuneti ca nu reusiti sa demonstrati egalitatea:

     	\frac{{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3} + \left( {4n + 2} \right)^2  = \frac{{4\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{3} 	?

    Totusi, iese destul de usor:

     	\begin{array}{l} 	 \frac{{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3} + \left( {4n + 2} \right)^2  =  \\ 	  = \frac{{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3} + \left( {2\left( {2n + 1} \right)} \right)^2  =  \\ 	  = \frac{{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3} + 4\left( {2n + 1} \right)^2  =  \\ 	  = \frac{{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3} + \frac{{4 \cdot 3 \cdot \left( {2n + 1} \right)^2 }}{3} =  \\ 	  = \frac{{4\left( {2n + 1} \right) \cdot \left[ {n\left( {2n - 1} \right) + 3\left( {2n + 1} \right)} \right]}}{3} =  \\ 	  = \frac{{4\left( {2n + 1} \right) \cdot \left( {2n^2  + 5n + 3} \right)}}{3} \\ 	 \end{array}

    Cum 2n^2  + 5n + 3 = \left( {n + 1} \right)\left( {2n + 3} \right), egalitatea este demonstrata !!!

      • 0
    • Raspunde
  4. ceva2007
    ceva2007
    2007-10-23T05:22:42+03:00A raspuns pe 23 octombrie 2007 la 5:22 AM

    – multumesc mult de tot 😀

      • 0
    • Raspunde
  5. ceva2007
    ceva2007
    2007-10-23T09:59:40+03:00A raspuns pe 23 octombrie 2007 la 9:59 AM

         	\[ 	2^2  + 6^2  + ........ + \left( {4n - 2} \right)^2  = \frac{{4n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3} 	\]

    am reusit 😛 … o sa fie mai usor de scris si inteles .. 😕

      • 0
    • Raspunde
  6. claudya29
    claudya29
    2010-02-04T09:12:28+02:00A raspuns pe 4 februarie 2010 la 9:12 AM

    Folosind medota inductiei matematice,sa se demonstreze ca pentru orice numar natural n , sunt adevarate egalitatile :

    A) 1 la 2+2 la 2+…+n la 2=n(n+1)(2n+1) totul supra 6

    B) 1*2+2*3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2) totul supra 3

    C) 1*2*3+2*3*4+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3) totul supra 4

    ajutatima plss..

    Va multumesc anticipat….si astept raspunsurile dumneavoastra! 😳 😳

      • 0
    • Raspunde
  7. alin55k
    alin55k
    2010-09-10T14:45:12+03:00A raspuns pe 10 septembrie 2010 la 2:45 PM

    hi 😀
    am si eu o inductie ..
    1/1*1+1/(1*1)(2*2)+…+1/(1*1)(2*2)(3*3)…(n*n)<= (3n-1)/2n

      • 0
    • Raspunde
  8. GreatMath
    GreatMath veteran (III)
    2010-09-16T16:06:57+03:00A raspuns pe 16 septembrie 2010 la 4:06 PM

    Posteaza problema in rubrica corespunzatoare si vei primi ajutor

      • 0
    • Raspunde
  9. DD
    DD profesor
    2010-09-17T15:39:47+03:00A raspuns pe 17 septembrie 2010 la 3:39 PM

    Metoda inductiei matematice stabileste daca o „propozitie” matematica, ce depinde de un parametru, numar natural, este sau nu
    adevarata. Propozitia poate fi o identitate sau o inegalitate [ca in cazul tau]
    Metoda are 3 „pasi”;
    1] Se verifica daca propozitia este adevarata pentru o valoare a parametrului,in domeniul de valori date.[de obicei se ia valoarea minima admisa]. In cazul problemei date, valoarea minima a parametrului este
    n=1. Deci propozitia, pentru n=1 va avea expresia;
    1/[1*1]<=[3*1-1]/[2*1] sau 1<=1 ceea ce este adevarat
    2] Se presupune ca propozitia, cu valoarea parametrului pana la valoarea „n” este adevarata, adica;
    1/[1*1]+1/{[1*1]*[2*2]}+1/{[1*1]*[2*2]*[3*3]}+…..+1/{[1*1]*[2*2]*[3*3]*….*[n*n]}<=[3*n-1]/[2*n]
    3]Pe baza adevarului presupus la pasul 2] se verifica daca propozitia, pentru valoarea parametrului egal cu „n+1” ,este adevarat,adica;
    1/[1*1]+1/{[1*1]*[2*2]}+1/{[1*1]*[2*2]*[3*3]}+…+1/{[1*1]*[2*2]*[3*3]*….*[n*n]*[n+1]*[n+1]<=[3{n+1}-1]/{2*{n+1}] vezi cont.

      • 0
    • Raspunde
  10. DD
    DD profesor
    2010-09-17T16:32:03+03:00A raspuns pe 17 septembrie 2010 la 4:32 PM

    [continuare] Primii „n” termeni, din expresia dela pasul 3],{tinand seama de ce am presupus la pasul 2]},ii vom inlocui cu valoarea;
    [3*n-1]/[2*n] {ceea ce este in defavoare inegalitatiide la pasul 3]}.
    In acest caz, expresia dela pasul 3] devine;
    [3*n-1]/[2*n]+1/{[1*1]*[2*2]*..*[n+1]*[n+1]<=[3*n+2]/[2*n+2]
    Neglijand al doilea termen din primul membru ,vom avea;
    [3*n-1]/[2*n]<[3*n+2]/[2*n+2] ceeace este adevarat
    Avand in vedere ca pasul 1] este adevarat si in baza presupunerii dela
    pasul 2] si pasul 3] este adevarat, rezulta ca propozitia matematica data este adevarata.

      • 0
    • Raspunde
Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul


Sidebar

PUNE O INTREBARE
  • IARNA
    • Colinde pentru copii
    • Povești de iarnă
    • Povești de Crăciun
    • Craciunul ... ce, cum, cand ?
  • FUN
    • Povești pentru copii
    • Povesti scurte cu talc
    • Povesti nemuritoare
    • Poezii
    • Stiati ca...
    • Citate celebre
    • Proverbe
    • Ghicitori
    • Glume si bancuri
  • SCOALA
    • Matematica
      • Formule Algebra
      • Formule Geometrie
      • Formule Analiza
    • Stii sa scrii ?!
    • Comentarii si rezumate
    • Cultura generala

Explore

  • Matematica
  • Limba romana
  •  Istorie
  •  Chimie
  • Biologie
  • Geografie
  •  Fizica
  • Informatica
  • Limbi straine
    • Engleza
    • Franceza
    • Germana
    • Altele
  • Diverse
  • Provocari

Footer

Despre noi

Platforma educationala pentru copii, parinti si profesori. Pune intrebari si primeste raspunsuri de la profesori si utilizatori experimentati. Transmite sugestii, povesti, articole etc.

Utile

  • Puncte si Ranguri
  • FAQ
  • Termeni și condiţii
  • Contact

Proiecte

  • Parenting
  • Dictionar explicativ
  • Matematica
  • Gramatica limbii romane
  • Trafic

Statistici

  • Intrebari : 30.815
  • Raspunsuri : 70.048
  • Best Answers : 401
  • Articole : 5.250
  • Comentarii : 15.545

Inserează/editează legătura

Introdu URL-ul de destinație

Sau leagă-te la conținutul existent

    Nu ai specificat niciun termen de căutare. Arăt elementele recente. Căută sau folosește tastele săgeată sus și jos pentru a selecta un element.