Home/ Intrebari/Q 64159
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

bbbddd
Pe: 2007-10-12T14:23:48+03:00

generalizare

Daca (a+b+c)la puterea a treia=a*a*a+b*b*b+c*c*c atunci avem generalizarea:
(a+b+c)la puterea (2n+1) este egala cu: a la puterea (2n+1)+b la puterea (2n+1)+c la puterea (2n+1), oricare ar fi a, b, c reale.

1 raspuns

  1. ex-admin
    profesor

    bbbddd wrote: Daca (a+b+c)la puterea a treia=a*a*a+b*b*b+c*c*c atunci avem generalizarea:
    (a+b+c)la puterea (2n+1) este egala cu: a la puterea (2n+1)+b la puterea (2n+1)+c la puterea (2n+1), oricare ar fi a, b, c reale.

    Vom demonstra ca daca a,b,c verifica relatia din enunt atunci in mod obligatoriu doua dintre acestea sunt numere opuse.

    Intr-adevar, fie a,b,x astfel incat \left( {a + b + x} \right)^3 = a^3 + b^3 + x^3 .

    Dupa efectuarea calculelor si gruparea termenilor dupa puterile lui x obtinem:

    \left( {a + b} \right)x^2 + \left( {a + b} \right)^2 x + ab\left( {a + b} \right) = 0 .

    Daca a + b \ne 0 (altfel rezultand a si b opuse), simplificand prin a+b rezulta:

    x^2 + \left( {a + b} \right)x + ab = 0,

    de unde

    x=-a sau x=-b .

    Cu aceasta, am demonstrat ca intr-adevar singurele triplete de numere reale care verifica ipoteza sunt cele care contin doua numere opuse.

    Acum, concluzia problemei este evidenta, caci:

    \left[ {a + b + \left( { - b} \right)} \right]^{2n + 1} = a^{2n + 1} + b^{2n + 1} + \left( { - b} \right)^{2n + 1}

Raspunde

Raspunde