Home/ Intrebari/Q 64121
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

ana_irinavescan
Pe: 2007-09-30T12:45:31+03:00

produs de cosinusi

cum demonstrez urmatoarea formula:

    \[ \prod\limits_{k = 1}^n {\cos \frac{{k\pi }}{{2n + 1}} = \frac{1}{{2^n }}} \]

am nevoie de ajutor

6 raspunsuri

  1. ex-admin
    profesor

    Demonstratia pe care o cunosc eu este de nivelul clasei a X-a, facand apel la polinoame si numere complexe.
    Se porneste de la descompunerea

        \[ x^{2n + 1} - 1 = \left( {x - x_1 } \right)\left( {x - x_2 } \right)...(x - x_{2n + 1} ) \]

    , unde

        \[ x_k = \cos \frac{{2k\pi }}{{2n + 1}} + i\sin \frac{{2k\pi }}{{2n + 1}},{\rm{ }}k \in \left\{ {0,1,...,2n} \right\} \]

    Rezulta ca

        \[ x^{2n + 1} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - \cos \frac{{2\pi }}{{2n + 1}} - i\sin \frac{{2\pi }}{{2n + 1}}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - \cos \frac{{2n\pi }}{{2n + 1}} - i\sin \frac{{2n\pi }}{{2n + 1}}} \right) \]

    .
    Cum

        \[ x^{2n + 1} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x^{2n} + x^{2n - 1} + ... + 1} \right) \]

    , obtinem

        \[ \left( {x - \cos \frac{{2\pi }}{{2n + 1}} - i\sin \frac{{2\pi }}{{2n + 1}}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - \cos \frac{{2n\pi }}{{2n + 1}} - i\sin \frac{{2n\pi }}{{2n + 1}}} \right) = x^{2n} + x^{2n - 1} + ... + 1 \]

    In aceasta egalitate facem x=1 si rezulta ca:

        \[ \left( {1 - \cos \frac{{2\pi }}{{2n + 1}} - i\sin \frac{{2\pi }}{{2n + 1}}} \right) \cdot ... \cdot \left( {1 - \cos \frac{{2n\pi }}{{2n + 1}} - i\sin \frac{{2n\pi }}{{2n + 1}}} \right) = 2n + 1 \]

    …
    Contiunuarea este inca suficient de lunga si dificila, o voi scrie de indata ce am mai mult timp la dispozitie.
    Daca cineva are o alta rezolvare, este asteptat cu interes!

  2. ana_irinavescan

    mersi mult de tot

  4. ex-admin
    profesor

    ana_irinavescan wrote: mersi mult de tot


    Cu mare placere!

    Credeti ca va descurcati mai departe? Daca sunteti in clasa X probabil ca inca nu ati studiat numerele complexe.

  5. ana_irinavescan

    Da, sunt in a X-a, dar de obicei invat inainte materia, ca sa nu am probleme la olimpiada si concursuri.Sper sa ii dau de cap problemei.

  6. ex-admin
    profesor

    Va recomand cartea „Probleme de trigonometrie”, autor F. Turtoiu, Editura Tehnica. Acolo, la capitolul „Sume si produse trigonometrice” gasiti si problema dumneavoastra.

  8. ana_irinavescan

    Multumesc mult de tot.M-am uitat de curiozitate intre cartile din scoala ale tatei si am gasit cartea si e in ea tot ce cautam. Multumesc inca o data.

Raspunde

Raspunde