Home/ Intrebari/Q 6293
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

mary-
10
user (0)
Pe: 2021-04-01T16:39:08+03:00 In: In:

Să se determine domeniul de continuitate al …

Să se determine domeniul de continuitate al funcției f:E\rightarrow\mathbb{R} în cazurile:
a) f(x)=\max(x,\sqrt{x-1})\\ b)f(x)=\min(x+1, 2^x)
c) f(x)=\cos(sgn(x))
–-
Pentru ambele subpuncte am explicitat funcțiile. Problema mea este că nu știu să determin intervale în care x ia valori pentru fiecare ramură.
La c) am explicitat astfel
f(x) = \left\{\begin{matrix} \cos(-1) & x<0\\ \cos(0) & x=0\\ \cos(1)& x>0 \end{matrix}\right. si am studiat continuitatea in x=0. Oare este bine?

Similare

1 raspuns

  1. Menim
    maestru (V)

    a)Mai intai observam ca x\geq1 datorita radicalului. Rezolvam ecuatia x>\sqrt{x-1}. Ridicam la patrat avand numere pozitive in ambele parti:
    x^2>x-1
    x^2-x+1>0
    (x-\frac12)^2+\frac{3}{4}>0, care este adevarata pentru orice x. Deci f:[1, +\infty), f(x)=x care este continua pe tot intervalul [1, +\infty) fiind o functie elementara.

    b)Nu am reusit sa obtin o solutie aici. Las totusi ceea ce am reusit sa obtin:

    Nu avem conditii de existenta deci functia este definita pe R. Rezolvam ecuatia x+1<2^x. Consideram functia g(x)=x+1-2^x. Derivata sa este g'(x)=1-2^x\ln(2) care se anuleaza in punctul pentru care \frac1{\ln2}=2^x deci \ln(\frac1{\ln2})=x\ln(2), -\ln(\ln(2))=x\ln(2) si in final x=\frac{-\ln(\ln(2))}{\ln(2)}. \ln(2)<\ln(e)=1 deci \ln(\ln(2))<\ln(1)=0 si deci numaratorul este strict pozitiv. Numitorul este strict pozitiv si el deci radacina derivatei este pozitiva.

    Calculam limitele la + si – infinit ale derivatei:
    \lim_{x\to-\infty}1-2^x\ln(2)=1 si \lim_{x\to\infty}1-2^x\ln(2)=-\infty. Deci derivata este pozitiva in stanga radacinei si negativa in dreapta. Rezulta ca functia este crescatoare in stanga radacinei derivatei si descrescatoare in stanga. Din pacate valoarea functiei in radacina derivatei este pozitiva, deci nu putem spune daca functia este pozitiva sau negativa(ceea ce ne doream pentru a putea explicita functia min).

    3.Explicitam:
    f(x)=\left\{\begin{matrix} \cos(-1), x<0\\ \cos(0), x=0 \\\cos(1), x<0 \end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} \cos(1), x<0\\ \1, x=0 \\\cos(1), x<0 \end{matrix}\right.
    La stanga lui 0 functia este continua(este o functie constanta). La fel si la dreapta lui 0. In 0 functia nu este continua deoarece limitele laterale sunt egale cu \cos(1) care nu este egal cu 0.

    • 1
Raspunde

Raspunde