Home/ Intrebari/Q 3813
Urmator
Answered
mary-
30
user (0)
Pe: 2021-01-10T17:00:28+02:00 In: In:

Determinați Im f: a) ,  b) , …

Determinați Im f:

a) f(x)=\frac{x}{1+|x|},  f:R\rightarrow R

b) f(x)=x^{\frac{1}{x}}, f:R->R

Similare

3 raspunsuri

  1. Best Answer
    maestru (V)

    a)Observam ca daca functia ia valoarea a in punctul x(adica f(x)=a), atunci in punctul -x va lua valoarea f(-x)=\frac{-x}{1+|-x|}=-\frac{x}{1+|x|}=-f(x). Rezulta ca este suficient sa calculam imaginea lui f pe [0, inf).

    Pe [0, inf) functia are expresia f(x)=\frac{x}{1+x}. Observam ca f(x)<1.
    f este continua. In punctul 0 ia valoarea f(0)=\frac{0}{1+0}=0, iar la infinit are limita 1. Fiind continua, functia are proprietatea lui Darboux, deci ia toate valoarile dintre 0 si limita sa la infinit, adica ia valorile [0, 1). Este usor de observat ca f nu atinge valoarea 1.

    Din simetria ce am observat-o la inceputul rezolvarii rezulta ca imaginea cautata este (-1, 1).

    Rezolv si punctul b maine dimineata.

    • 1
  2. maestru (V)
    Raspuns editat.

    b)Consideram functia ca fiind definita pe (0, \infty), deoarece in 0 functia nu exista(avem \frac10), iar pe numerele negative poate lua valori complexe. O rescriem astfel:
    f(x)=x^{\frac1x}=e^{\ln(x^\frac1x)}=e^{\frac{\ln x}{x}}

    Deoarece functia exponentiala este o functie continua si pozitiva, aflam imaginea functiei g(x)=\frac{\ln x}{x}. Pentru a face acest lucru, ii analizam derivata(fiind functie continua):
    g'(x)=\frac{(\ln x)'x-x'\ln(x)}{x^2}=\frac{\frac1x\cdot x-\ln(x)}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}

    Radacinile derivatei se obtin atunci cand 1-\ln(x)=0, adica \ln(x)=1, de unde x=e. Analizam semnul lui g’ la stanga si la dreapta lui e. g'(1)=\frac{1-\ln(1)}{1^2}=1>0 si g(e^2)=\frac{1-\ln(e^2)}{e^4}=\frac{1-2}{e^4}<0. Rezulta ca pe intervalul (0, e) functia este crescatoare si pe intervalul (e, \infty) este descrescatoare.

    \lim_{x \to 0^+}g(x)=\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln (x)}{x}=\lim_{x \to 0^+}\ln(x)\cdot \frac1x=-\infty\cdot\infty=-\infty
    f(e)=\frac{\ln(e)}{e}=\frac1e
    \lim_{x \to \infty}g(x)=\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}x=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac1x}{1}=0

    Functia ia deci pe intervalul (0, e] valorile (-\infty, \frac1e] si pe intervalul [e, \infty] valorile (0, \frac1e]. Reunind cele 2 intervale, obtinem ca imaginea functiei g este intervalul (-\infty, \frac1e].

    Deoarece exponentiala este o functie continua, imaginea functiei f(x)=e^{g(x)} este (\lim_{x \to -\infty} e^x, e^{\frac1e}]=(0, e^{\frac1e}].

    • 1
Raspunde

Raspunde