Home/ Intrebari/Q 2640
Urmator
Answered
Elaapostol
10
user (0)
Pe: 2020-11-12T13:33:55+02:00 In: In:

Ex A7 subpunctul b. Niste indicatii macar

Ex A7 subpunctul b. Niste indicatii macar

Similare

1 raspuns

  1. Best Answer
    maestru (V)

    Punctul b l-am rezolvat aici:https://anidescoala.ro/xyarctgtgxtgy-sa-se-arate-ca-g-si/
    Daca ai nelamuriri, let me know.

    a)1.Stabilitatea:Demonstram ca daca x si y apartin lui G, atunci si x\circ y\in G, adica pentru orice x, y\in (-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2), \arctan(\tan x+\tan y)\in(-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2). Acest lucru rezulta din faptul ca valorile principale ale arctangentei se iau pe intervalul (-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2).

    2.Comutativitatea:Pentru orice x si y din G, x\circ y=y\circ x:
    x\circ y=\arctan(\tan x+\tan y)=\arctan(\tan y+\tan x)=y\circ x

    3.Asociativitatea:Pentru orice x, y si z din G, (x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z)
    (x\circ y)\circ z=(\arctan(\tan x+\tan y))\circ z=\arctan(\tan(\arctan(\tan x+\tan y))+\tan z)=\arctan(\tan x+\tan y+\tan z)=\arctan(\tan x+\tan(\arctan(\tan y+\tan z))))=x\circ(\arctan(\tan y+\tan z))=x\circ(y\circ z)

    4.Existenta elementelui neutru:Exista un e din G astfel incat pentru orice x din G x\circ e=e\circ x=x. Deoarece am demonstrat la 2 comutativitatea, este suficient sa aratam aici gasim un e pentru care x\circ e=x, adica \arctan(\tan x+\tan e)=x, deci \tan x+\tan e=\tan x, de unde \tan e=0 si in final e=0.

    5.Existenta inverselor:Pentru orice x din G, exista un x^{-1} cu proprietatea ca x\circ x^{-1}=x^{-1}\circ x=e=0. Datorita comutativitatii este suficient sa gasim x^{-1} care sa verifice x\circ x^{-1}=0:
    \arctan(\tan x+\tan(x^{-1}))=0
    \tan x+\tan(x^{-1})=0^{}
    \tan(x^{-1})=-\tan x=\tan(-x), deci x^{-1}=-x.

    Aceste 5 proprietati sunt suficiente pentru a arata ca G este grup comutativ.

    • 1
Raspunde

Raspunde