Home/ Intrebari/Q 2285
Urmator
Answered

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Maria4343
30
Pe: 2020-10-05T10:01:24+03:00 In: In:

Sa se determine X inclus M2 (R) …

Sa se determine X inclus M2 (R) care verifica egalitatea matriceala:

a) X\cdot\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 3& 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 &10 \\ 4&2 \end{pmatrix}

b) X\cdot\begin{pmatrix} -1 &3 \\ 2 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 &7 \\ 4&0 \end{pmatrix}

Similare

2 raspunsuri

  1. Menim
    Best Answer

    a)Consideram matricea din partea stanga cu care este inmultita X, anume matricea A=\begin{pmatrix} -1 &2 \\ 3&4 \end{pmatrix}. Determinantul acesteia are valoarea -1\cdot4-2\cdot3=-4-6=-10, care este diferita de 0, deci matricea este inversabila. Ii calculam atunci inversa:
    1.Transpusa lui A este matricea:
    A^{T}=\begin{pmatrix} -1&3 \\ 2&4 \end{pmatrix}
    2.Construim matricea adjuncta:
    A^{*}=\begin{pmatrix} (-1)^{1+1}\cdot4& (-1)^{1+2}\cdot2\\ (-1)^{2+1}\cdot3&(-1)^{2+2}\cdot(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 &-2 \\ -3&-1 \end{pmatrix}
    3.Inversa lui A este matricea:
    A^{-1}=\frac{1}{\text{det}A}A^{*}=-\frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4&-2 \\ -3&-1 \end{pmatrix}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix} -4&2 \\ 3&1 \end{pmatrix}

    Acum inmultim la dreapta ecuatia din enunt, anume X\cdot A=\begin{pmatrix} 5&10 \\ 4&2 \end{pmatrix}, cu inversa lui A pe care am calculat-o mai sus:
    X\cdot A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix} 5&10 \\ 4&2 \end{pmatrix}\cdot A^{-1}
    Folosind definitia inversei:
    X=\begin{pmatrix} 5&10 \\ 4&2 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{10}\begin{pmatrix} -4&2 \\ 3&1 \end{pmatrix}
    X=\frac1{10}\begin{pmatrix} 5(-4)+10\cdot3&5\cdot2+10\cdot1 \\ 4(-4)+2\cdot3&4\cdot2+2\cdot1 \end{pmatrix}=\frac1{10}\begin{pmatrix} 10&20 \\ -10&10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2 \\ -1&1 \end{pmatrix}

  2. Menim

    b)Voi rezolva aceasta ecuatie printr-o metoda diferita fata de cea de la a. Despre matricea X stim ca este o matrice de 2×2, deci este de forma X=\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}. Inlocuim in ecuatia data:
    \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -1&3 \\ 2&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5&7 \\ 4&0 \end{pmatrix}
    Efectuam inmultirea din partea stanga:
    \begin{pmatrix} -a+2b&3a+b \\ -c+2d&3c+d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5&7 \\ 4&0 \end{pmatrix}
    Pentru ca matricele sa fie egale, elementele corespondente trebuie sa fie egale. Obtinem urmatorul sistem:
    \begin{cases} -a+2b=5\\ 3a+b=7 \\ -c+2d=4 \\ 3c+d=0 \end{cases}

    Inmultim prima ecuatie cu 3, obtinand -3a+6b=15, pe care o adunam peste a 2-a ecuatie, rezultand ca 3a+b-3a+6b=15+7, deci 7b=22, adica b=\frac{22}7. Inlocuind in prima ecuatie(cea originala, inainte de a inmulti cu 3), obtinem ca -a+2\cdot\frac{22}7=5, adica a=\frac{44}{7}-5=\frac{44}{7}-\frac{35}7=\frac97.

    Inmultim a 3-a ecuatie cu 3, obtinand -3c+6d=12, pe care o adunam peste ultima ecuatie, rezultand ca 3c+d-3c+6d=12, deci 7d=12, adica d=\frac{12}{7}. Inlocuind in a 3-a ecuatie(inainte de a o inmulti cu 3), obtinem -c+2\cdot\frac{12}{7}=4, deci c=\frac{24}{7}-4=\frac{24}{7}-\frac{28}{7}=-\frac47.

    Rezulta ca matricea X este matricea \begin{pmatrix} \frac97&\frac{22}7 \\ -\frac47&\frac{12}7 \end{pmatrix}. Este de observat faptul ca numitorul 7 din aceasta matrice este -\text{det}A, A fiind matricea cu care se inmulteste X in ecuatia data in enunt.

    Ambele ecuatii pot fi rezolvate fie prin metoda de la a), fie prin cea de la b).

Raspunde

Raspunde