Vă rog frumos ajutatima, am foarte mare nevoie de ajutor, stau de cateva ore si nu imi vine nici macar o idee
1) Sa se determine toate permutarile sigma apartine lui Sn n>=3 astfel incat numerele 1+sigma(1) , 2+sigma(2) ,…, n+sigma(3) sa formeze :
a) o progresie aritmetica
b) o progresie geometrica
2)Se dau numerele strict pozitive a1 , a2 , …, an. Sa se determine permutarea sigma apartine lui Sn pentru care suma :
a) epsilon n, i=1 1/ai * a simga(i) este maxima (minima)
b) epsilon n, i=1 ai * a simga(i) este maxima (minima)
3) Fie H apartine lui Sn , H diferit de multimea vida cu proprietatea ca oricare ar fi sigma , theta apartine lui H => sigma * theta apartine lui H. Sa se arate ca:
a) permutarea identica e apartine lui H
b)daca sigma apartine lui H => sigma ^-1 apartine lui H
4)Fie sigma apartine lui Sn , n>=3. Daca sigma * alfa = alfa * sigma , oricare ar fi alfa apartine lui Sn , atunci sigma = e.
1)Presupun ca ultimul 3 este de fapt n. a)Consideram 3 elemente consecutive ale acestui sir:)
, )
si )
. Daca tot sirul este progresie aritmetica, atunci si aceste elemente sunt in progresie artimetica, ceea ce inseamna ca:
)+(k+2+s(k+2))=2(k+1+s(k+1)))
+s(k+2)=2k+2+s(k+1))
,&space;s(2)...s(n))
este o progresie aritmetica. Daca sirul are ratia pozitiva r(si naturala deoarece sirul are doar elemente naturale), atunci cel mai mare element al acestuia este +(n-1)r)
. Daca )
si 
sunt mai mari decat 1, atunci cel mai mare element este mai mare decat n, ceea ce este fals. De asemenea, daca unul dintre ele este mai mare decat 1 iar celalalt egal cu 1, cel mai mare element este prea mare. Rezulta ca ambele trb sa fie egale cu 1, obtinand permutarea =1,&space;s(2)=2...s(n)=n)
. Analog, din cazul ratiei negative obtinem permutarea =n,&space;s(2)=n-1,&space;...s(n)=1)
.
¹e
Dar aceasta ultima relatie me spune ca aceste numere sunt in progresie aritmetica. Rezulta ca sirul
2)Din nou, ratia este numar intreg deoarece toti termenii sirului sunt termeni intregi. Daca ratia ar fi negativa, termenii sirului ar alterna ca semn, ceea ce nu se intampla, deci ratia este strict pozitiva, neputand fi nici 0 deoarece atunci am avea termeni egali cu 0. Daca ratia este r, atunci termenul maxim este)\cdot&space;r^{n-1})
. Daca r este diferit de 1, atunci termenul maxim este cel putin \cdot&space;2^{n-1}=2^n)
, care este mai mare decat n. Rezulta ca ratia este 1. Atunci avem ca +1=s(n)+n)
, deci =s(1)+1-n)
. Cum s(n) este strict pozitiv, +1-n>0)
, deci >n-1)
, adica =n)
. Inlocuind in sir se observa imediat ca =n-1,&space;s(3)=n-2...s(n)=1)
.
Nota:Am utilizat s in loc de sigma pentru ca e mai simplu de scris, plus nu sunt un mare fan al literelor grecesti.
2.Nu inteleg enuntul. Te rog sa il repostezi in Latex(editorul de ecuatii) sau sa ii faci o poza clara.
3.a)Voi presupune ca multimea H trebuie sa aiba cel putin 2 permutari. Daca una din ele este perm identica, atunci am terminat. Altfel, fie s si p aceste 2 permutari, si fie m, respectiv n, ordinele lor, adica
. Atunci, conform enuntului, permutarea 
apartine si ea multimii. Dar cum permutarile s si sp apartin multimii, rezulta ca 
apartine multimii. Continuand astfel, ajungem la faptul ca 
apartine multimii. Deoarece 
si p apartin multimii, rezulta ca si 
apartine multimii. Continuand astfel, obtinem ca si 
apartine multimii. Deoarece permutarea s si permutarea 
apartin multimii, rezulta ca si 
apartin multimii. Dar deoarece si p apartine multimii, obtinem in final faptul ca si 
apartine multimii.
este acea permutare ce are proprietatea ca 
. Fie n ordinul acestei permutari. Compunand la stanga cu 
, obtinem 
, adica 
, deci 
. Dar la punctul a) am demonstrat ca oricum am alege 2 elemente s si p din H, 
apartine multimii H, iar alegand p si s obtinem ca 
apartine multimiii H.
b)