Home/ Intrebari/Q 2169
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Stefan......
5
Pe: 2020-08-25T22:23:40+03:00 In: In:

Mulțumesc anticipat!

Mulțumesc anticipat!

Similare

1 raspuns

  1. Menim

    Dam o ordine laturilor triunghiurilor, anume 
    a\geq b\geq c.

    Folosim inegalitatea lui Titu Andreescu(poti citi despre ea aici):
    \frac{a^6}{b^2+c^2}+\frac{b^6}{a^2+c^2}+\frac{c^6}{a^2+c^2}\geq\frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}

    Mai departe, din egalitatea lui Chebysev(nu stiu daca asa se scrie):
    (a^3+b^3+c^3)=(a^2\cdot a+b^2\cdot b+c^2\cdot c)\geq (a^2+b^2+c^2)\cdot\frac{a+b+c}{3}

    Ne intoarcem la ceea ce am obtinut prin Ineg Titu:
    \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\geq\frac{(\frac13\cdot(a^2+b^2+c^2)(a+b+c))^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\geq\frac1{18}(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^2=\frac1{18}(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)(a+b+c)

    Aplicam inegalitatea mediilor pentru primele 2 paranteze:
    a^2+b^2+c^2\geq3(a^2\cdot b^2\cdot c^2)^{\frac13}
    si
    a+b+c\geq3(abc)^{\frac13}

    Cu aceste inegalitati avem:
    \frac1{18}(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)(a+b+c)\geq\frac1{18}\cdot3(a^2\cdot b^2\cdot c^2)^{\frac13}\cdot3(abc)^{\frac13}(a+b+c)=\frac12(a^3\cdot b^3\cdot c^3)^{\frac13}(a+b+c)=\frac12abc(a+b+c)

    Am demonstrat deci ca:
    \frac{a^6}{b^2+c^2}+\frac{b^6}{a^2+c^2}+\frac{c^6}{a^2+b^2}\geq\frac12abc(a+b+c)

    Pentru a demonstra inegalitatea ceruta este suficient sa demonstram ca:
    \frac12abc(a+b+c)\geq8S^2

    Folosim acum formula lui Heron pentru arie:
    S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
    8S^2=8(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)})^2=8p(p-a)(p-b)(p-c)=8\frac{a+b+c}2(\frac{a+b+c}2-a)(\frac{a+b+c}2-b)(\frac{a+b+c}2-c)=\frac12(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

    \frac12abc(a+b+c)\geq\frac12(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
    abc\geq(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

    Pentru a demonstra aceasta inegalitate, consideram x, y si z pozitive. Din inegalitatea mediilor, avem:
    2\sqrt{xy}\leq{x+y}
    2\sqrt{yz}\leq y+z
    2\sqrt{xz}\leq x+z

    Inmultim aceste inegalitati:
    8xyz\leq(x+y)(y+z)(x+z)

    In final, scriem inegalitatea de mai sus pentru x=\frac{a+b-c}2,  y=\frac{a+c-b}2si z=\frac{b+c-a}2 si vom obtine inegalitatea ce o aveam de demonstrat. Aceasta substitutie este valida deoarece toate valorile substitutie sunt pozitive din inegalitatea triunghiului(suma a oricaror 2 laturi este mai mica decat cea de-a 3-a latura).

Raspunde

Raspunde