Home/ Intrebari/Q 2134
Urmator
Answered

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Stefan......
6
Pe: 2020-08-20T17:32:14+03:00 In: In:

Va rog sa …

Va rog sa o rezolvati!

Similare

12 raspunsuri

  1. AniDeScoala.ro
    anidescoala.ro

    Salut Stefan

    Poti, te rog, sa postezi intr-un mod ceva mai organizat ?
    De asemenea, ar fi bine sa spui si ce ai incercat tu sa faci.

  2. Stefan......

    Ce inseamna un mod mai organizat?

  4. Menim
    Best Answer

    a)Rescriem mai intai conditia multimii:
    \frac{2n+1}{n+1}=\frac{2n+2-1}{n+1}=\frac{2n+2}{n+1}-\frac1{n+1}=2-\frac1{n+1}.

    Trei numere pot fi lungimile laturilor unui triunghi daca si numai daca fiecare dintre ele este mai mic decat suma celorlalte 2.

    Fie 2-\frac1{m+1}, 2-\frac1{n+1} si 2-\frac1{p+1} 3 numere din multimea A. Dam lui m, n, p ordinea m\geq n\geq p.

    Daca m=n=p, triunghiul exista(deoarece conditiile de existenta se reduc la 2-\frac1{m+1}<2-\frac1{m+1}+2-\frac1{m+1}, care este evident adevarata; de asemenea, deoarece exista triunghiuri echilaterale cu latura de orice lungime).

    Daca 2 dintre laturi sunt egale, spre exemplu 2-\frac1{m+1}=2-\frac1{n+1}(si m=n>p), atunci triunghiul exista daca si numai daca a 3-a latura este mai mica decat suma celor 2 laturi egale, adica in cazul nostru:
    2-\frac1{p+1}<2(2-\frac1{m+1})=4-\frac2{m+1}
    -\frac1{p+1}<2-\frac2{m+1}
    Inmultind cu (-1):
    \frac1{p+1}>\frac2{m+1}-2, (1)
    Deoarece m>p, rezulta m+1>p+1 ⇒ \frac1{m+1}<\frac1{p+1} ⇒ \frac1{p+1}>\frac1{m+1}. Pentru a demonstra inegalitatea marcata cu (1) mai este necesar doar sa demonstram ca \frac1{m+1}>\frac2{m+1}-2.
    Inmultind cu m+1:
    1>2-2(m+1)
    1+2m+2>2
    1+2m>0, care este adevarat deoarece m este natural.
    Deci triunghiul exista si atunci cand 2 laturi au lungimile egale.

    Analizam cazul cand cele 3 laturi nu au lungimi egale. Consideram ordinea m>n>p. Cum p\geq0 si n>p rezulta ca n\geq 1. Cum n\geq 1 si m>n obtinem ca m\geq 2.

    Cele 3 conditii ale existentei triunghiului sunt:
    1.2-\frac1{m+1}<2-\frac1{n+1}+2-\frac1{p+1}
    -\frac1{m+1}<2-\frac1{n+1}-\frac1{p+1}.
    Inmultind cu (-1):
    \frac1{m+1}>\frac1{n+1}+\frac1{p+1}-2
    n\geq 1 si p\geq0 ⇒ n+1\geq2 si p+1\geq1 ⇒ \frac1{n+1}\leq\frac12 si \frac1{p+1}\leq1 ⇒ \frac1{n+1}+\frac1{p+1}-2\leq\frac12+1-2=-\frac12. Membrul drept este deci negativ. Dar cel stang este pozitiv, deci inegalitatea este adevarata.

    2.2-\frac1{n+1}<2-\frac1{m+1}+2-\frac1{p+1}
    -\frac1{n+1}<2-\frac1{m+1}-\frac1{p+1}.
    Inmultind cu (-1):
    \frac1{n+1}>\frac1{m+1}+\frac1{p+1}-2
    m\geq 2 si p\geq0 ⇒ m+1\geq3 si p+1\geq1 ⇒ \frac1{m+1}\leq\frac13 si \frac1{p+1}\leq1 ⇒ \frac1{m+1}+\frac1{p+1}-2\leq\frac13+1-2<0. Membrul drept este deci negativ. Dar cel stang este pozitiv, deci inegalitatea este adevarata.

    3.2-\frac1{p+1}<2-\frac1{m+1}+2-\frac1{n+1}
    Aceasta inegalitate se demonstreaza la fel ca celelalte 2.

    Aceste 3 conditii garanteaza existenta triunghiului.

    b)Perimetrul triunghiului este suma lungimilor laturilor sale:
    P=2-\frac1{m+1}+2-\frac1{n+1}+2-\frac1{p+1}=6-(\frac1{m+1}+\frac1{n+1}+\frac1{p+1})
    Pentru a maximiza perimetrul este necesar ca paranteza sa ia o valoare minima, care sa fie si naturala. Deoarece paranteza este strict pozitiva, cea mai mica valoare posibila este 1(pentru care obtinem un perimetru de 5) pe care o putem obtine spre exemplu pt m=3, n=3 si p=1. Cred ca in total avem 18 variante pentru a obtine perimetrul 5.

  5. Stefan......
    Raspuns editat.

    Stii cumva daca exista o teorema pentru faptul ca n^M10:11=c rest1?   
       De ce p mai mare sau egal cu 0 si nu cu 1??

  6. Menim

    Acest lucru este adevarat doar atunci cand n nu este multiplu de 11(de exemplu cand n=11, 11^{10} da restul 0 la impartirea cu 11).

    Daca consideram ca M10=10k, atunci:
    n^{10k}=(n^k)^{10}, iar proprietatea data de tine este o aplicatie directa a Micii Teoreme a lui Fermat(https://math.wikia.org/ro/wiki/Mica_teorem%C4%83_a_lui_Fermat).

    Pentru ca p este un numar natural, ceea ce include si 0.

  8. Stefan......
    Raspuns editat.

    Mulțumesc mult! Stii cateva teoreme si proprietati despre radacina digitala a unui numar????
            Sau stii ceva despre numerele dintre cuburi perfecte? Cate numere sunt intre cuburi perfecte consecutive? Ceva de genul asta. Orice m-ar ajuta.
          Apropo, ce note ai luat la BAC????

  9. Menim
    Raspuns editat.

    Am trimis acest mesaj din greseala, e incomplet.

    Radacina digitala a unui numar are in general urmatoarea formula:

    r(n)=\begin{cases}0 & \text{ daca } n=0 \\ (1+(n-1))\text{mod9}& \text{ daca } n\neq0 \end{cases}

    De asemenea:

    r(n)=n-9\left \lfloor{\frac{n-1}{9}}\right \rfloor
    Aceste formule se pot extinde si pentru alte baze, spre exemplu in baza b, inlocuind 9 cu b-1.

    Pentru orice a si b:
    r(r(a)+r(b))=r(a+b)
    r(r(a)\cdot r(b))=r(ab)

    Cam astea sunt singurele lucruri pe care le stiu despre radacina digitala.

  10. Menim

    2 cuburi consecutive sunt 2 numere de forma p^3 si (p+1)^3, cu p natural. Intre ele se afla (p+1)^3-p^3-1 numere naturale.

    (p+1)^3-p^3-1=(p+1)(p+1)^3-p^3-1=(p+1)(p^2+2p+1)-p^3-1=p^3+2p^2+p+p^2+2p+1-p^3-1=3p^2+3p=3p(p+1)

    Observam ca acest numar este intotdeauna multiplu de 6(avem un 3, iar p(p+1) este multiplu de 2 deoarece fie p, fie p+1 este par).

    10 la mate, 9.6 la info si 9 la romana

  12. Stefan......
    Raspuns editat.

    Mulțumesc mult si felicitări!Exista cva o metoda prin care sa afli cuburile perfecte stiin numărul numereleor dintre ele?

  13. Menim

    Stii numarul numerelor dintre 2 cuburi consecutive si doresti sa afli care sunt acele cuburi?

    Dupa cum am spus mai sus, intre 2 cuburi consecutive p^3 si (p+1)^3 se afla 3p(p+1) numere. Daca stim ca intre cuburi se afla k numere, atunci:
    3p(p+1)=k
    Aceasta este o ecuatie de gradul 2 in p. O rezolvam astfel:
    3p^2+3p-k=0
    \Delta=3^2-4\cdot3k=9-12k
    Pentru a avea solutii, \Delta trebuie sa fie pozitiv si patrat perfect. Daca este, atunci solutiile sunt:
    p=\frac{(-3)\pm\sqrt{9-12k}}6
    Solutia negativa nu convine(cuburile sunt) pozitive. Ramanem cu:
    p=\frac{-3+\sqrt{9-12k}}{6}
    Daca acest numar este natural, atunci cuburile consecutive intre care se afla k numere sunt p^3 si (p+1)^3.

  14. Menim

    De problemele de geometrie pe care le-ai postat o sa ma ocup maine dimineata.

  16. Stefan......

    Bravo ție! Mulțumesc mult!

Raspunde

Raspunde