Problema 2 va rog!
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
a)Consideram resturile pe ccare le obtinem la impartirea lui x la 4. Avem un total de 4 resturi, si 25 de numere. Daca niciun rest nu se repeta de 7 ori, atunci am avea cel mult 6*4=24 numere. Dar noi avem 25 de numere, deci cel putin un rest se repeta de 7 ori.
Luam cele 7 numere care dau acelasi rest la impartirea cu 4 a lui x. Oricum am alege 4 numere, produsul lor va da o putere a 4-a pentru
. Trebuie sa ne asiguram acum ca acest lucru se intampla si pentru y, adica trebuie sa ne asiguram ca din 7 numere de forma 
putem alege 4 care au produsul puterea a 4-a a unui numar natural. Acest lucru este echivalent cu a demonstra ca exista 4 numere intr-o multime de 7 a caror suma este multiplu de 4.
Vom folosi faptul ca intr-o multime de 3 numere exista 2 cu suma para. Intr-adevar, deoarece exista 2 resturi posibile la impartirea cu 2 si 3 numere, din principiul cutiei stim ca 2 resturi se repeta, iar suma numerelor cu resturile egale va fi para.
Alegem 3 numere la intamplare din cele 7. 2 dintre ele au suma para. Le dam la o parte si le consideram o grupa. Ramanem cu 5 numere. Repetam procedeul pana cand ajungem sa avem 3 grupe de cate 2 numere cu suma para si un numar in plus pe care il ignoram. Sumele celor 3 grupe fiind pare, le putem nota cu 2k, 2l si 2m. Consideram acum numerele k, l si m. Deoarece exista 2 resturi la impartirea cu 2, si 3 numere, principiul cutiei ne spune ca 2 dintre numerele k,l si m au aceeasi paritate. Sa zicem ca aceste numere sunt k si l. Atunci k+l este par, iar 2k+2l=2(k+l) va fi un multiplu de 4. 2k+2l este insa de fapt suma a 2 grupe de cate 2 numere, adica suma a 4 numere, exact ce se cerea.
Faptul ca exista 4 numere cu suma multiplu de 4 in orice multime de 7 se poate generaliza, existand n numere cu suma multiplu de n in orice multime de 2n-1 numere.
b)Consideram resturile obtinute la impartirea cu 2 a lui x si y. Avem 2 resturi posibile pt x si 2 pt y, deci in total 4 variante pentru perechile (x, y). Dar deoarece alegem 5 numere, principiul cutiei ne spune ca vor exista 2 numere pt care x si y vor avea, respectiv, aceeasi paritate. Atunci produsul acestor 2 numere va da un numar cu x si y par, adica un patrat perfect.
De unde ai luat 6*4=24, la început? Scuze ca te întreb, dar la olimpiada trebuie să gandesti mult inainte, iar eu inca nu m-am obisnuit.
x poate avea 4 resturi la impartirea cu 4. Dar noi avem 25=4*6+1 numere, deci daca nu s-ar repeta niciun rest de 7 ori, am avea cel mult 4*6 resturi(adica am avea cel mult fiecare rest de 6 ori).