Home/ Intrebari/Q 2122
Urmator
Answered
Stefan......
10
user (0)
Pe: 2020-08-19T14:47:34+03:00 In: In:

Va rog frumos!

Va rog frumos!

Similare

2 raspunsuri

  1. maestru (V)

    a)Daca n si 5 sunt coprime, atunci n are una din formele de mai jos:
    5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4.

    n^4-1=(n^2-1)(n^2+1)=(n-1)(n+1)(n^2+1)

    1.Daca n este de forma 5k+1, atunci n-1 este de forma 5k+1-1=5k, deci n-1 este divizibil cu 5, de unde rezulta ca si n^4-1 este divizibil cu 5.

    2.Daca n este de forma 5k+2, atunci n^2+1=(5k+2)^2+1=25k^2+20k+4+1=25k^2+20k+5=5(5k^2+4k+1), deci n^2+1 este divizibil cu 5, de unde rezulta ca n^4-1 este divizibil cu 5.

    3.Daca n este de forma 5k+3, atunci n^2+1=(5k+3)^2+1=25k^2+30k+9+1=25k^2+30k+10, deci n^2+1 este divizibil cu 5, de unde rezulta ca n^4-1 este divizibil cu 5.

    4.Daca n este de forma 5k+4, atunci n+1 este de forma 5k+4+1=5k+5, deci n+1 este divizibil cu 5, de unde rezulta ca n^4-1 este divizibil cu 5.

    • 1
  2. Best Answer
    maestru (V)
    Raspuns editat.

    b)Deoarece p>5 si p este prim, acesta este coprim cu numarul 5, si deci orice putere a lui p este coprima cu 5.

    Suma data contine 8044:4=2011 puteri. O rescriem astfel:

    p^4+p^8+...+p^{8044}-2011=(p^4-1)+(p^8-1)+...+(p^{8044}-1)=(p^4-1)+((p^2)^4-1)+...+(p^{2011})^4-1)

    Fiecare termen al sumei este de forma (p^k)^4-1. Cum p^k este coprim cu 5, din punctul a) rezulta ca (p^k)^4-1 este multiplu de 5, si deci suma se divide cu 5.

    Utilizam din nou faptul ca termenii sumei sunt de tipul (p^k)^4-1. (p^k)^4-1=((p^k)^2-1)((p^k)^2+1)

    Deoarece numarul p este prim si mai mare decat 5, rezulta ca acesta este un numar impar. Atunci orice putere a acestuia este tot un numar impar, deci (p^k)^2 este un numar impar. Rezulta ca (p^k)^2-1 si (p^k)^2+1 sunt pare, si deci produsul lor este un multiplu de 4. Fiecare termen al sumei este deci multiplu de 4, de unde rezulta ca suma este multiplu de 4.

    Consideram din nou termenii sumei, (p^k)^4-1=((p^k)^2-1)((p^k)^2+1)

    Deoarece p este prim si mai mare decat 5, acesta nu poate fi multiplu de 3, si deci nici puterile acestuia nu sunt multipli de 3. Notam (p^k)^2=x. Termenii sumei sunt acum de forma (x-1)(x+1). Daca x este de forma 3l+1, atunci x-1 este de forma 3l+1-1=3l, adica este multiplu de 3, si deci termenul este multiplu de 3. Daca x este de forma 3l+2, atunci x+1=3l+2+1=3l+3=3(l+1), adica este divizibil cu 3, si deci termenul este divizibil cu 3. Avem deci ca toti termenii sumei sunt divizibili cu 3, adica suma este divizibila cu 3.

    Cum suma este divizibila cu 3, 4 si 5, 60=3*4*5 si 3, 4 si 5 sunt coprime 2 cate 2 rezulta ca suma data este divizibila cu 60.

    • 1
Raspunde

Raspunde