Va rog sa ma ajutati
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
a)Am facut urmatorul desen:
Am notat cu E intersectia lui AB si NQ, cu F intersectia lui AB si MP, cu G intersectia lui AC si MS si cu H intersectia lui AC cu NR. De asemenea am marcat laturile PE, EM, SN si GR.
Deoarece P e simetricul lui M fata de AB, rezulta ca PF=FM si unghiurile PFE si MFE sunt unghiuri drepte. Triunghiurile PFE si MFE sunt deci congruente, avand o latura comuna, o pereche de laturi congruente si unghiul dintre ele de 90 de grade. Rezulta ca Unghiurile PEF si MEF sunt congruente. Din faptul ca Q este simetricul lui M fata de AB rezulta ca unghiurile QEF si NEF sunt unghiuri drepte, si din faptul ca PEF si MEF sunt congruente rezulta ca si QEP si NEM sunt congruente.
Congruenta triunghiurilor PEF si MEF ne da si congruenta laturilor PE si ME. Deoarece Q este simetricul lui N fata de AB rezulta ca QE este congruent cu EN. Deci triunghiurile QEP si NEM au 2 perechi de laturi congruente, precum si unghiurile dintre aceste laturi congruente. Rezulta ca aceste triunghiuri sunt congruente, de unde avem ca PQ este congruent cu MN.
Deoarece R este simetricul lui N fata de AC, laturile NH si HR sunt congruente, iar unghiurile NHG si RHG sunt drepte. Triunghiurile NHG si RHG au o latura comuna, o pereche de laturi congruente, iar unghiurile dintre aceste laturi sunt drepte. Rezulta ca aceste triunghiuri sunt congruente, deci laturile NG si GR sunt congruente, precum si unghiurile NGH si RGH.
Deoarece S este simetricul lui M fata de AC, unghiurile MGH si SGH sunt drepte. Cum unghiurile NGH si RGH sunt congruente, rezulta ca si unghiurile MGN si SGR sunt congruente.
Triunghiurile MSN si RGS au deci 2 perechi de laturi congruente si unghiurile dintre aceste laturi sunt congruente. Rezulta ca triunghiurile sunt congruente, deci laturile MN si SR sunt congruente. Deoarece laturile PQ si MN sunt congruente, rezulta ca laturile PQ si SR sunt congruente.
Dar punctele b si c?
Le voi posta mai tarziu.
Punctele b si c?
b)Am facut o noua imagine in programul Geogebra ca sa vedem mai clar ce se intampla:
Daca imaginea nu apare la o dimensiune corespunzatoare, o poti vedea mai bine aici:
https://i.imgur.com/tQREF8B.png.
Deoarece P este simetricul lui M fata de AB, rezulta ca unghiurile MFB si BFP sunt ambele drepte si ca laturile MF si FP sunt congruente. Triunghiurile MFB si PFB mai au si o latura comuna(FB), deci sunt congruente. Rezulta ca unghiurile PBF si MBF sunt congruente. Observam si ca unghiul MBF este acelasi cu unghiul ABC.
Analog, din congruenta triunghiurilor CHN si CHR, avem ca unghiurile HCN si HCR sunt congruente, HCN fiind echivalent cu unghiul ACB..
Dar cum triunghiul este ascutitunghic, inseamna ca<90)
, deci >-90)
, apoi >180-90=90)
, si in final )>180)
, adica:
Tocmai dupa ce am scris rezolvarea punctului b) am realizat ca o putem scurta destul de mult. O sa editez raspunsul de mai sus.
Punctul c te rog.
La punctul b) am demonstrat ca unghiurilePBA si ABC, respectiv HCB si ACB sunt congruente. Atunci AB este bisectoarea unghiului PBC, iar AC este bisectoarea unghiului RCB.
Atunci AB si AC sunt bisectoarele exterioare ale unghiurilor TBC si BCT. Orice 2 bisectoare exterioare ale 2 unghiuri se intersecteaza cu bisectoarea interioara a celuilalt unghi intr-un punct unic care este numit centrul cercului exinscris triunghiului(exista 3 astfel de cercuri). Deoarece AB si AC se intersecteaza in A, atunci si bisectoarea unghiului BTC trece prin A, adica TA este bisectoarea acestui unghi.
Mulțumesc!