Ma puteti ajuta ?
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
a)
,
…,
) din membrul drept se afla si in membrul stang, cu acelasi semn. Scadem aceste numere. Ramanem cu:

=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)
=0)

si
:

=0)
=0)



Observam ca fractiile cu numitorul impar(
A 2-a parte a membrului stang contine numerele din membrul drept. Scadem tot membrul drept:
Simplificam acum fractiile din paranteza:
Numerele cu numitori impari din paranteza se mai afla o data in suma, cu semnul plus. Ii putem elimina:
Termenii din paranteza se repeta in suma cu semnul minus(acelasi pe care l-ar avea daca am desface paranteza):
Simplificam termenii din paranteza:
Termenii cu numitorul impar din paranteza se mai afla o data in suma cu semnul plus. Ii putem deci elimina:
Termenii din paranteza se afla in suma cu semnul minus:
Simplificam paranteza:
Termenii cu numitor impar din paranteza se mai afla in suma cu semnul plus, deci ii eliminam:
Termenii din paranteza se mai afla in suma cu semnul minus:
Simplificam paranteza:
Din nou, termenii din paranteza cu numitor impar se simplifica:
Termenii din paranteza se mai afla in suma cu semnul minus:
Simplificam paranteza:
Termenii cu numitor impar din paranteza se simplifica:
Termenii din paranteza se repeta in suma cu semnul minus:
Simplificam paranteza:
Termenii din paranteza cu numitorul impar se simplifica:
Termenii din paranteza se repeta in suma cu semn minus:
Simplificam paranteza:
Termenii cu numitor impar in paranteza se simplifica:
Termenii din paranteza se repeta cu semnul minus:
Simplificam paranteza:
Suma mai are foarte putini termeni, asa ca ii putem scrie pe toti:
Simplificam
Am ajuns la o expresie adevarata, deci egalitatea de la care am pornit este adevarata. O sa ma gandesc maine daca exista o solutie fara atat de multe calcule.
Si punctul b daca vrei.
b)Observam ca suma din membrul drept al punctului b seamana cu suma din membrul stang de la a). Ne punem intrebarea daca putem sa gasim o relatie asemanatoare celei de la punctul a) pentru suma de la punctul b). Raspunsul este ca da, anume:

Demonstratia este aceeasi ca cea de la punctul a). O vei scrie fara prea multe explicatii.
Mulțumesc mult!
Cu placere. Am scris si a 2-a parte a rezolvarii putin mai jos.
Am demonstrat mai sus ca membrul drept este egal cu:

Observam ca 668+1335=2003. In acest caz, grupam termenii sirului astfel:
+(\frac1{669}+\frac1{1334})+(\frac1{670}+\frac1{1333})+...)
Fiecare paranteza are forma:
, cu k natural. Deoarece suma are 1335-667=668, care este un numar par, deci toate numerele pot fi grupate. Cum toate perechile sunt de 2 termeni si avem in total 668 de numere, inseamna ca vom avea 668:2=334 de perechi, deci ultima pereche va fi
, deoarece am inceput de la k=0.
Sa analizam „termenul general”:
(1335-k)}=\frac{1335+668}{(668+k)(1335-k)}=\frac{2003}{(668+k)(1335-k)})
Suma devine:
)
. Atunci avem:
, deci
, cu k natural, dexi m este multiplu de 2003.
Paranteza este o suma de termeni rationali, deci este rationala. Rezulta ca exista p si q naturale, cu (p, q)=1 astfel incat suma este egala cu: