va rog frumos …

Question

5

Stefan......

Pe: 17 august 20202020-08-17T22:19:17+03:00 2020-08-17T22:19:17+03:00In: MatematicaIn: Clasele V-VIII

va rog frumos …

Ma puteti ajuta ?

6 raspunsuri

Stefan......
2020-08-19T12:29:30+03:00A raspuns pe 19 august 2020 la 12:29 PM
_{Si punctul b daca vrei.}
0

Raspunde
Menim
2020-08-19T14:44:03+03:00A raspuns pe 19 august 2020 la 2:44 PM
b)Observam ca suma din membrul drept al punctului b seamana cu suma din membrul stang de la a). Ne punem intrebarea daca putem sa gasim o relatie asemanatoare celei de la punctul a) pentru suma de la punctul b). Raspunsul este ca da, anume:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{1333}-\frac1{1334}+\frac1{1335}=\frac1{668}+\frac1{669}+...+\frac1{1335}$
Demonstratia este aceeasi ca cea de la punctul a). O vei scrie fara prea multe explicatii.

$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{1333}-\frac1{1334}+\frac1{1335}=\frac1{668}+\frac1{669}+...+\frac1{1335}$
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{667}-(\frac1{668}+\frac1{670}+...+\frac1{1334})+(\frac1{669}+\frac1{671}+...+\frac1{1335})=\frac1{668}+\frac1{669}+...+\frac1{1335}$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{667}-2(\frac1{668}+\frac1{670}+...+\frac1{1334})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{667}-(\frac1{334}+\frac1{335}+...+\frac1{667})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{333}-(\frac1{334}+\frac1{336}+...+\frac1{666})+(\frac1{335}+\frac1{337}+...+\frac1{667})-(\frac1{334}+\frac1{335}+...+\frac1{667})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{333}-2(\frac1{334}+\frac1{336}+...+\frac1{666})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{333}-(\frac1{167}+...+\frac1{333})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{165}-\frac1{166}-(\frac1{168}+\frac1{170}+...+\frac1{332})+(\frac1{167}+\frac1{169}+...+\frac1{333})-(\frac1{167}+...+\frac1{333})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{165}-\frac1{166}-2(\frac1{168}+...+\frac1{332})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{165}-\frac1{166}-(\frac1{84}+...+\frac1{166})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+..+\frac1{83}-(\frac1{84}+\frac1{86}+...+\frac1{166})+(\frac1{85}+\frac1{87}...+\frac1{165})-(\frac1{84}+...+\frac1{166})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+..+\frac1{83}-2(\frac1{84}+\frac1{86}+...+\frac1{166})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{83}-(\frac1{42}+...+\frac1{83})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{41}-2(\frac1{42}+\frac1{44}+...+\frac1{82})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{41}-(\frac1{21}+\frac1{22}+...+\frac1{41})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+...-\frac1{20}-2(\frac1{22}+\frac1{24}+...+\frac1{40})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+...-\frac1{20}-(\frac1{11}+\frac1{12}+...+\frac1{20})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+...-\frac1{10}-2(\frac1{12}+\frac1{14}+...+\frac1{20})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+...-\frac1{10}-(\frac1{6}+\frac1{7}+...+\frac1{10})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-2(\frac16+\frac18+\frac1{10})=0$

$1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-(\frac13+\frac14+\frac1{5})=0$

$1-\frac12-\frac14-\frac14=0$
$0=0$
1

Raspunde
Stefan......
2020-08-19T14:46:36+03:00A raspuns pe 19 august 2020 la 2:46 PM
Mulțumesc mult!
0

Raspunde
- Menim
  2020-08-19T14:59:15+03:00a raspuns pe 19 august 2020 la 2:59 PM
  Cu placere. Am scris si a 2-a parte a rezolvarii putin mai jos.
  
  0
Menim
2020-08-19T14:58:33+03:00A raspuns pe 19 august 2020 la 2:58 PM
Am demonstrat mai sus ca membrul drept este egal cu:
$\frac1{668}+\frac1{669}+...+\frac1{1335}$

Observam ca 668+1335=2003. In acest caz, grupam termenii sirului astfel:
$(\frac1{668}+\frac1{1335})+(\frac1{669}+\frac1{1334})+(\frac1{670}+\frac1{1333})+...$

Fiecare paranteza are forma:
$\frac1{668+k}+\frac1{1335-k}$ , cu k natural. Deoarece suma are 1335-667=668, care este un numar par, deci toate numerele pot fi grupate. Cum toate perechile sunt de 2 termeni si avem in total 668 de numere, inseamna ca vom avea 668:2=334 de perechi, deci ultima pereche va fi $\frac1{668+333}+\frac1{1335-333}$ , deoarece am inceput de la k=0.

Sa analizam „termenul general”:
$\frac1{668+k}+\frac1{1335-k}=\frac{1335-k+668+k}{(668+k)(1335-k)}=\frac{1335+668}{(668+k)(1335-k)}=\frac{2003}{(668+k)(1335-k)}$

Suma devine:
$\frac{2003}{668*1335}+\frac{2003}{669*1334}+...+\frac{2003}{1001*1002}=2003(\frac{1}{668*1335}+\frac{1}{669*1334}+...+\frac{1}{1001*1002})$
Paranteza este o suma de termeni rationali, deci este rationala. Rezulta ca exista p si q naturale, cu (p, q)=1 astfel incat suma este egala cu:
$2003\cdot\frac{p}{q}$ . Atunci avem:
$\frac{m}{n}=\frac{2003p}{q}$ , deci $m=2003pk$ , cu k natural, dexi m este multiplu de 2003.
0

Raspunde

Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul

Menim · Accepted Answer · 2020-08-17T23:09:22+03:00

a) $1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{2009}-\frac1{2010}+\frac1{2011}=\frac{1}{1006}+\frac{1}{1007}+\frac1{1008}+...+\frac1{2011}$
Observam ca fractiile cu numitorul impar( $\frac1{1007}$ , $\frac1{1009}$ …, $\frac1{2011}$ ) din membrul drept se afla si in membrul stang, cu acelasi semn. Scadem aceste numere. Ramanem cu:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{1005}-\frac1{1006}-\frac{1}{1008}-...-\frac{1}{2010}=\frac{1}{1006}+\frac1{1008}+...+\frac1{2010}$
A 2-a parte a membrului stang contine numerele din membrul drept. Scadem tot membrul drept:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{1005}-2(\frac1{1006}+\frac{1}{1008}+...+\frac{1}{2010})=0$
Simplificam acum fractiile din paranteza:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{1005}-(\frac1{503}+\frac{1}{504}+...+\frac{1}{1005})=0$
Numerele cu numitori impari din paranteza se mai afla o data in suma, cu semnul plus. Ii putem elimina:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{501}-\frac1{502}-\frac1{504}-\frac1{506}-...-\frac1{1004}-(\frac{1}{504}+\frac{1}{506}+...+\frac1{1004})=0$
Termenii din paranteza se repeta in suma cu semnul minus(acelasi pe care l-ar avea daca am desface paranteza):
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{501}-\frac1{502}-2(\frac1{504}+\frac1{506}+...+\frac1{1004})=0$
Simplificam termenii din paranteza:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{501}-\frac1{502}-(\frac1{252}+\frac1{253}+...+\frac1{502})=0$
Termenii cu numitorul impar din paranteza se mai afla o data in suma cu semnul plus. Ii putem deci elimina:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac{1}{251}-\frac1{252}-\frac{1}{254}-...\frac1{502}-(\frac1{252}+...+\frac1{502})=0$
Termenii din paranteza se afla in suma cu semnul minus:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac{1}{251}-2(\frac1{252}+...+\frac1{502})=0$
Simplificam paranteza:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac{1}{251}-(\frac1{126}+...+\frac1{251})=0$
Termenii cu numitor impar din paranteza se mai afla in suma cu semnul plus, deci ii eliminam:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac{1}{125}-\frac1{126}-...-\frac{1}{250}-(\frac1{126}+...+\frac1{250})=0$
Termenii din paranteza se mai afla in suma cu semnul minus:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac{1}{125}-2(\frac1{126}+...+\frac1{250})=0$
Simplificam paranteza:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac{1}{125}-(\frac1{63}+...+\frac1{125})=0$
Din nou, termenii din paranteza cu numitor impar se simplifica:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac{1}{61}-\frac{1}{62}-\frac{1}{64}-...-\frac{1}{124}-(\frac1{64}+...+\frac1{124})=0$
Termenii din paranteza se mai afla in suma cu semnul minus:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac{1}{61}-\frac{1}{62}-2(\frac1{64}+...+\frac1{124})=0$
Simplificam paranteza:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac{1}{61}-\frac{1}{62}-(\frac1{32}+...+\frac1{62})=0$
Termenii cu numitor impar din paranteza se simplifica:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{31}-\frac1{32}-\frac1{34}-...-\frac1{62}-(\frac1{32}+...+\frac1{62})=0$
Termenii din paranteza se repeta in suma cu semnul minus:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{31}-2(\frac1{32}+...+\frac1{62})=0$
Simplificam paranteza:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{31}-(\frac1{16}+...+\frac1{31})=0$
Termenii din paranteza cu numitorul impar se simplifica:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{15}-\frac1{16}-\frac1{18}-...-\frac1{30}-(\frac1{16}+...+\frac1{30})=0$
Termenii din paranteza se repeta in suma cu semn minus:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{15}-2(\frac1{16}+...+\frac1{30})=0$
Simplificam paranteza:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{15}-(\frac1{8}+...+\frac1{15})=0$
Termenii cu numitor impar in paranteza se simplifica:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{7}-\frac1{8}-\frac1{10}-..-\frac1{14}-(\frac1{8}+...+\frac1{14})=0$
Termenii din paranteza se repeta cu semnul minus:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{7}-2(\frac1{8}+...+\frac1{14})=0$
Simplificam paranteza:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac1{7}-(\frac1{4}+...+\frac1{7})=0$
Suma mai are foarte putini termeni, asa ca ii putem scrie pe toti:
$1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\frac17-\frac14-\frac15-\frac16-\frac17=0$
Simplificam $\frac15$ si $\frac17$ :
$1-\frac12+\frac13-\frac14-\frac16-\frac14-\frac16=0$
$1-\frac12+\frac13-2(\frac14+\frac16)=0$
$1-\frac12+\frac13-(\frac12+\frac13)=0$
$1-\frac12-\frac12=0$
$1-1=0$
$0=0$

Am ajuns la o expresie adevarata, deci egalitatea de la care am pornit este adevarata. O sa ma gandesc maine daca exista o solutie fara atat de multe calcule.

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

va rog frumos …

Similare

6 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul