Home/ Intrebari/Q 2080
Urmator
Answered

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Stefan......
10
Pe: 2020-08-17T09:35:53+03:00 In: In:

Am nevoie neaparat …

Am nevoie neaparat de punctul b si daca aveti timp si punctul a,dar in principal vreau punctul b.

Similare

1 raspuns

  1. Menim
    Best Answer

    b)Fara a pierde generalitatea(deoarece expresia este ciclica), consideram ca a>b>c.

    Deoarece a, b si c sunt numere prime, pentru ca abc\cdot\frac{a+b}{2}\cdot\frac{b+c}{2}\cdot\frac{a+c}{2} sa fie patrat perfect, a, b si c trebuie sa divida \frac{a+b}{2}\frac{a+c}{2}\frac{b+c}{2}.

    Sa consideram doar a-ul. Acesta trebuie sa divida \frac{a+b}{2}\frac{a+c}{2}\frac{b+c}{2}, deci este obligatoriu sa divida macar unul din cei 3 factori.

    Presupunem ca il divide pe \frac{a+b}2.  Rezulta ca exista un k natural astfel incat \frac{a+b}{2}=ka. Rezulta ca a+b=2ka, apoi b=2ka-a, deci b=a(2k-1). k nu poate fi egal cu 1 deoarece atunci am obtine b=a, ceea ce este fals deoarece enuntul spune ca numerele sunt distincte. Dar daca k este diferit de 1, atunci din faptul ca b=a(2k-1) rezulta faptul ca b nu este numar prim, ceea ce este fals. Rezulta ca a nu il poate divide pe \frac{a+b}{2}. Analog demonstram si ca a nu il poate divide pe \frac{a+c}{2}.

    Rezulta ca a trebuie sa il divida pe \frac{b+c}{2}. Dar la inceputul exercitiului am decis ca a>b>c. Daca a>b si a>c, atunci, adunand cele 2 relatii obtinem ca 2a>b+c, si deci ca a>\frac{b+c}2, de unde rezulta ca a nu poate fi divizor al lui  \frac{b+c}2. Cum nu poate divide nici unul din ceilalti factori, rezulta ca numarul nu poate fi patrat perfect.

    Daca la inceputul exercitiului am fi pus o alta ordine numerelor, spre exemplu b>c>a, atunci am fi dat acest argument pentru b, nu a.

    Pentru subpunctul a) nu observ nicio metoda „desteapta”, dar cred ca (7, 3, 11) duce la cea mai mica suma(21). Nu cred ca ar fi foarte greu de verificat ca nu exista una mai mica.

Raspunde

Raspunde