Home/ Intrebari/Q 1926
Urmator
Answered

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

maverick01
15
Pe: 2020-06-09T16:07:08+03:00 In: In:

Buna ziua! Va rog mult sa ma …

Buna ziua! Va rog mult sa ma ajutati cu urmatoarele doua probleme si sa le redactati cat mai explicit! Multumesc! 

G={ (a,b) ∈ Z x Z ∣ a2 – 2b2 =1  }

Demonstrati ca G este multime infinita. 

Fie multimea { fk : IR → IR ∣ fk (x) = (3^k) * x   +  2*(3^k)  – 2, k∈Z }

Sa se arate ca multimea H = {f3k ∣ k∈Z } este subgrup al grupului (G, °), unde ° este operatia de compunere a functiilor.

Similare

2 raspunsuri

  1. Menim
    Best Answer
    Raspuns editat.

    1.A demonstra ca multimea G este infinita inseamna a demonstra ca ecuatia a^2-2b^2=1 are o infinitate de solutii intregi. Vom face acest lucru demonstrand ca ecuatia are o infinitate de solutii naturale, care sunt desigur si numere intregi. Este de observat ca daca perechea (x, y) este solutie, atunci si perechile (-x, y), (x, -y), respectiv (-x, -y) sunt solutii.

    Aceasta ecuatie se numeste ecuatie Pell. Solutia banala a acesteia este (1, 0). Observam ca a este este obligatoriu impar. De aceea, urmatoarea solutie se obtine pt a=3, si b=2. Aceasta solutie este solutia de baza.

    Demonstram ca daca (x, y) este o solutie a ecuatiei, cu x si y naturale, atunci si (3x+4y, 2x+3y) este o solutie. Daca (x, y) este solutie, atunci x^2-2y^2=1.(3x+4y)^2-2(2x+3y)^2=9x^2+16y^2+24xy-2(4x^2+9y^2+12xy)=9x^2+16y^2+24xy-8x^2-18y^2-24xy=x^2-2y^2=1

    Daca x si y sunt naturale, atunci si 3x+4y, respectiv 2x+3y sunt naturale. De asemenea, 3x+4y si 2x+3y sunt strict mai mari decat x, respectiv y, deci vom avea astfel o infinitate de solutii, obtinand una noua aplicand recursiv regula „3x+4y, 2x+3y”. Am observat mai sus ca (3, 2) este solutie, care poate fi punct de inceput.

    Acest argument poate fi dat si folosind siruri. Daca vrei, pot redacta acest lucru.

  2. Menim

    2.Mai intai observam ca H este submultime a lui G. H este subgrup al grupului G daca elementul neutru al grupului G se afla in multimea H, si daca oricare ar fi 2 elemente ale lui H, sa zicem f_{3a} si f_{3b}, atunci si f_{3a}\circ f_{3b}^{-1} apartine multimii H. f_{3b}^{-1} este, desigur, inversul lui f_{3b}.

    Sa luam mai intai 2 elemente ale grupului G, adica 2 functii, si sa vedem ce obtinem cand le aplicam operatia grupului, adica operatia de compunere a functiilor. Fie f_m si f_n acele elemente:
    (f_m\circ f_n)(x)=f_m(f_n(x))=f_m(3^n\cdot x+2\cdot3^n-2)=3^m\cdot(3^n\cdot x+2\cdot3^n-2)+2\cdot3^m-2=3^m\cdot3^n\cdot x+2\cdot3^m\cdot3^n-2\cdot3^m+2\cdot3^m-2=3^{m+n}x+2\cdot3^{m+n}-2=f_{m+n}(x)

    Mai departe, observam ca grupul G este comutativ:
    f_m\circ f_n=f_{m+n}=f_{n+m}=f_n\circ f_m.

    Folosind aceste lucruri, sa gasim elementul neutru. Elementul neutru este o functie f_e cu proprietatea ca, oricare ar fi o alta functie f_d din grupul G, f_d\circ f_e=f_e\circ f_d=f_d. Dar, stiind ca grupul este comutativ, este suficient sa aratam ca f_d\circ f_e=f_d:
    f_d\circ f_e=f_d
    f_{d+e}=f_d
    d+e=d
    e=0

    Deci functia f_0 este elementul neutru al grupului G. Daca calculam formula lui f, vom observa ca aceasta este chiar functia identitate, care este in general element neutru la compunerea de functii.

    Urmatorul pas este sa observam ca f_0 se afla in multimea H, deoarece 0 este un multiplu de 3.

    Mai departe, sa cercetam inversele elementelor din G. Inversul elementului f_m este un element f_{m'} cu proprietatea ca f_m\circ f_{m'}=f_{m'}\circ f_m=f_0. Deoarece am demonstrat ca G este un grup abelian/comutativ, este suficient sa aratam ca f_m\circ f_{m'}=f_0:
    f_m\circ f_{m'}=f_0
    f_{m+m'}=f_0
    m+m'=0
    m'=-m
    Deci inversul elementului f_m este elementul f_{-m}, altfel spus f_{m}^{-1}=f_{-m}.

    Ramane sa demonstram ca oricare ar fi 2 elemente ale lui H, sa zicem f_{3a} si f_{3b}, elementul f_{3a}\circ f_{3b}^{-1} se afla si el in multimea H:
    f_{3a}\circ f_{3b}^{-1}=f_{3a}\circ f_{-3b}=f_{3a-3b}=f_{3(a-b)}
    Daca a si b apartin lui Z, atunci si a-b apartin lui Z, deci si f_{3(a-b)} apartine lui H.

    Ceea ce am demonstrat mai sus, impreuna cu faptul ca elementul neutru se afla in H este suficient pentru a demonstra ca H este subgrup al lui G.

Raspunde

Raspunde