Va rog sa ma ajutati cu urmatorul exercitiu! Se considera sirul
Sa se demonstreze ca
AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Va rog sa ma ajutati cu urmatorul exercitiu! Se considera sirul
Sa se demonstreze ca
Integram
prin parti:
dx=\int_0^1&space;\left&space;(&space;\frac{x^{n+1}}{n+1}&space;\right&space;)'\cdot\ln(x+1)dx=\frac1{n+1}\int_0^1(x^{n+1})'\ln(x+1)dx=\frac1{n+1}(x^{n+1}\ln(x+1)|_0^1-\int_0^1x^{n+1}(\ln(x+1))'dx)=\frac1{n+1}(1^{n+1}\ln(1+1)-0^{n+1}\ln(0+1)-\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}dx)=\frac1{n+1}(\ln2-\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}dx))
Inlocuim noua formula a lui
in limita:
![\lim_{n\to\infty}(n+2)[(n+1)a_n-\ln2]=\lim_{n\to\infty}(n+2)[(n+1)\cdot\frac1{n+1}(\ln2-\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}dx)-\ln2]=\lim_{n\to\infty}(n+2)[\ln2-\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}dx-\ln2]=\lim_{n\to\infty}(n+2)[-\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}dx]=-\lim_{n\to\infty}(n+2)\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}dx=-\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{(n+2)x^{n+1}}{x+1}dx=-\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{(x^{n+2})'}{x+1}dx=-\lim_{n\to\infty}((\frac{x^{n+2}}{x+1})|_0^1-\int_0^1x^{n+2}\cdot(\frac1{x+1})'dx)=-\lim_{n\to\infty}(\frac{1^{n+2}}{1+1}-\frac{0^{n+2}}{0+1}-\int_0^1x^{n+2}\cdot(\frac{-1}{(x+1)^2})dx)=-\lim_{n\to\infty}(\frac12+\int_0^1\frac{x^{n+2}}{(x+1)^2}dx)=-\frac12-\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{x^{n+2}}{(x+1)^2}dx](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to\infty}(n+2)[(n+1)a_n-\ln2]=\lim_{n\to\infty}(n+2)[(n+1)\cdot\frac1{n+1}(\ln2-\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}dx)-\ln2]=\lim_{n\to\infty}(n+2)[\ln2-\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}dx-\ln2]=\lim_{n\to\infty}(n+2)[-\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}dx]=-\lim_{n\to\infty}(n+2)\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}dx=-\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{(n+2)x^{n+1}}{x+1}dx=-\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{(x^{n+2})'}{x+1}dx=-\lim_{n\to\infty}((\frac{x^{n+2}}{x+1})|_0^1-\int_0^1x^{n+2}\cdot(\frac1{x+1})'dx)=-\lim_{n\to\infty}(\frac{1^{n+2}}{1+1}-\frac{0^{n+2}}{0+1}-\int_0^1x^{n+2}\cdot(\frac{-1}{(x+1)^2})dx)=-\lim_{n\to\infty}(\frac12+\int_0^1\frac{x^{n+2}}{(x+1)^2}dx)=-\frac12-\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{x^{n+2}}{(x+1)^2}dx)
Mai ramane sa calculam limita acelei integrale. Deoarece functia pe care o integram este continua, din teorema de medie stim ca exista![c\in\left[0,1 \right ]](http://latex.codecogs.com/gif.latex?c\in\left[0,1&space;\right&space;])
astfel incat ^2}dx=(1-0)\frac{c^{n+2}}{(c+1)^2}=\frac{c^{n+2}}{(c+1)^2})
.
^2}dx=\lim_{n\to\infty}\frac{c^{n+2}}{(c+1)^2}=0)
Limita este 0 deoarece c-ul se afla intre 0 si 1, deci limita numitorului este 0, iar numaratorul este doar 0 constanta. Daca nu cunosti teorema de medie pe care am folosit-o mai sus, pot cauta o solutie alternativa.
Continuand limita de mai sus, avem^2}dx=-\frac12-0=-\frac12)
.
Multumesc mult!