Home/ Intrebari/Q 1732
Urmator
Answered
Iony
10
user (0)
Pe: 2020-05-15T18:43:58+03:00 In: In:

Fie grupurile :(R,+)si (G,o),unde G=(2,∝) si xoy=xy-2x-2y+6. …

Fie grupurile :(R,+)si (G,o),unde G=(2,∝) si xoy=xy-2x-2y+6.
a) sa se arate ca f:R-G,f(x)=e×+2 este un izomorfism de grupuri.
b)sa se arate ca xo2=2ox=2,pentru orice x din G.

Similare

2 raspunsuri

  1. Best Answer
    maestru (V)
    Raspuns editat.

    a)Functia f este un izomorfism de la grupul (R, +) la grupul (G,\circ) daca este bijectiva sif(x+y)=f(x)\circ f(y)

    Derivata lui f(x) este functia e^x, care este pozitiva pe R. Rezulta ca f(x) este strict crescatoare pe R.

    Functia f este continua, deci admite proprietatea lui Darboux. Fiind si strict crescatoare, inseamna ca aceasta ia o singura data fiecare valoare din intervalul (\lim_{x \to -\infty} f(x), \lim_{x \to \infty}f(x)).

    \lim_{x \to -\infty} f(x)=\lim_{x \to -\infty}(e^x+2)=e^{-\infty}+2=\frac{1}{e^\infty}+2=\frac{1}{\infty}+2=0+2=2

    \lim_{x \to \infty} f(x)=\lim_{x \to \infty}(e^x+2)=\infty+2=\infty

    Deci f ia o singura data fiecare valoare din intervalul (2, \infty), altfel spus, este bijectiva.

    f(x+y)=f(x)\circ f(y)

    e^{x+y}+2=(e^x+2)\circ(e^y+2)

    e^{x+y}+2=(e^x+2)(e^y+2)-2(e^x+2)-2(e^y+2)+6

    e^{x+y}+2=e^x(e^y+2)+2(e^y+2)-2e^x-4-2e^y-4+6

    e^{x+y}+2=e^{x+y}+2e^x+2e^y+4-2e^x-4-2e^y-4+6

    Reducem termenii asemenea:

    e^{x+y}+2=e^{x+y}-4+6

    e^{x+y}+2=e^{x+y}+2

    Functia f este deci izomorfism intre grupurile date.

    b)x\circ 2=2x-2x-2\cdot2+6=-4+6=2

    2\circ x=2x-2\cdot2-2x+6=-4+6=2

    • 0
Raspunde

Raspunde