Se considera funcția f:R~R, f(x)= x^3-3x+2. Sa …

Question

10

AndreeaGabrielauser (0)

Pe: 6 mai 20202020-05-06T17:39:30+03:00 2020-05-06T17:39:30+03:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

Se considera funcția f:R~R, f(x)= x^3-3x+2.

Sa se determine punctele de graficul funcției in care tangenta este paralela cu dreapta y=3x si sa se scrie ecuatile acestor tangente.

Am nevoie de ajutor pentru rezolvarea acestei probleme,ma puteti ajuta,va rog frumos ?

Raspunde

Menim · Accepted Answer · 2020-05-09T17:52:46+03:00

Ecuatia tangentei in punctul $a$ , la graficul functiei $f$ , este:

$y=f'(a)x+f(a)-af'(a)$

Ordonata la origine(termenul liber din partea dreapta a ecuatiei de mai sus) a acestei drepte este $f(a)-af'(a)$ .

Ordonata la origine a dreptei $y=3x$ este 0, deoarece ecuatia dreptei se poate scrie si ca $y=3x+0$ .

Tangenta trebuie sa fie paralela cu aceasta dreapta. 2 drepte sunt paralele daca ordonatele lor la origine sunt egale. Adica:

$f(a)-af'(a)=0$

Calculam derivata lui $f(x)=x^3-3x+2$ :

$f'(x)=3x^2-3$

$f(a)-af'(a)=0$

Inlocuim $f(a)$ si $f'(a)$ in aceasta ecuatie:

$a^3-3a+2-a(3a^2-3)=0$

Desfacem paranteza:

$a^3-3a+2-3a^3+3a=0$

$-2a^3+2=0$

$a^3=1$

Singura solutie reala este $a=1$ .

$y=f'(a)x+f(a)-af'(a)$

Am stabilit mai sus ca $f(a)-af'(a)=0$ , deci ecuatia devine:

$y=f'(a)x$

Inlocuim $a=1$ :

$y=f'(1)x$

$f'(x)=3x^2-3$

Calculam derivata lui $f$ in $1$ : $f'(1)=3*1^2-3=0$

Inlocuind in $y=f'(1)x$ :

$y=0$ este singura tangenta care paralela cu dreapta data, in punctul $(a, f(a))=(1, f(1))=(1, 1^3-3cdot1+2)=(1, 0)$ .