Home/ Intrebari/Q 1692
Urmator
Answered

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Atma
10
Pe: 2020-05-06T13:25:06+03:00 In: In:

Am nevoie de ajutor, va rog …

am nevoie de ajutor la rezolvarea problemei

Similare

1 raspuns

  1. Menim
    Best Answer
    Raspuns editat.

    1.a)Determinantul unei matrice de ordinul 2 este diferenta dintre produsul elementelor de pe diagonala principala si al celor de pe diagonala secundara:

    \begin{vmatrix} -2&2 \\ -1&-1 \end{vmatrix}=(-2)\cdot (-1)-2\cdot(-1)=2-(-2)=2+2=4

    b)Calculam mai intai produsul A\cdot A:

    A\cdot A=\begin{pmatrix} -2&2 \\ -1&-1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -2&2 \\ -1&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (-2)\cdot(-2)+2\cdot(-1)&(-2)\cdot(2)+2\cdot(-1) \\ (-1)\cdot(-2)+(-1)\cdot(-1)&(-1)\cdot2+(-1)\cdot(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&-6 \\ 3&-1 \end{pmatrix}

    A\cdot A+3A+4I_2=\begin{pmatrix} 2&-6 \\ 3&-1 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} -2&2 \\ -1&-1 \end{pmatrix}+4\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&-6 \\ 3&-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -6&6 \\ -3&-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4&0 \\ 0&4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-6+4&-6+6+0 \\ 3-3+0&-1-3+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}=O_2

    c)Utilizam produsul A\cdot A calculat la punctul b) pentru a calcula A\cdot A\cdot A:

    A\cdot A\cdot A=(A\cdot A)\cdot A=\begin{pmatrix} 2&-6 \\ 3&-1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -2&2 \\ -1&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\cdot(-2)+(-6)\cdot(-1)&2\cdot+(-6)\cdot(-1) \\ 3\cdot(-2)+(-1)\cdot(-1)&3\cdot2+(-1)\cdot(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&10 \\ -5&7 \end{pmatrix}

    A\cdot A\cdot A=xA+yI_2

    \begin{pmatrix} 2&10 \\ -5&7 \end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} -2&2 \\ -1&-1 \end{pmatrix}+y\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}

    \begin{pmatrix} 2&10 \\ -5&7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2x&2x \\ -x&-x \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} y&0 \\ 0&y \end{pmatrix}

    \begin{pmatrix} 2&10 \\ -5&7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2x+y&2x \\ -x&-x+y \end{pmatrix}

    2 matrice sunt egale daca si numai daca termenii corespunzatori sunt egali. Obtinem sistemul:

    \begin{cases} -2x+y=2 \\ 2x=10 \\ -5=-x \\ -x+y=7 \end{cases}

    Ecuatia a 2-a din sistem, prin impartire cu 2, ne da x=5.  Inlocuind in ultima ecuatie:

    -5+y=7=>y=12

    Verificam daca prima ecuatie are aceste solutii:

    -2\cdot5+12=-10+12=2

    Ecuatia numarul 3 este de asemenea verificata.

    Deci relatia din enunt se verifica doar pentru x=5 si y=12.

    2.a)2020\star1=2\cdot2020\cdot1-2\cdot2020-2\cdot1+3=4040-4040-2+3=-2+3=1

    b)x\star y=2xy-2x-2y+3

    Dam factor pe 2x:

    x\star y=2x(y-1)-2y+3

    Il scriem pe 3 ca 2+1 pentru a mai putea da un factor comun:

    x\star y=2x(y-1)-2y+2+1

    Il dam pe 2 factor comun:

    x\star y=2(x(y-1)-y+1)+1

    x\star y=2(x(y-1)-(y-1))+1

    Il dam pe y-1 factor comun:

    x\star y=2(x-1)(y-1)+1

    Alternativ, puteam porni de la forma data la punctul b, si desfacand parantezele, sa ajungem la cea din enunt.

    c)Folosim forma demonstrata la punctul b:

    (x\star x)\star x=(2(x-1)(x-1)+1)\star x=2(2(x-1)(x-1)+1-1)(x-1)+1=2(2(x-1)(x-1))(x-1)+1=4(x-1)^3+1

    4(x-1)^3+1=x

    Scadem 1:4(x-1)^3=x-1

    Cazul 1:x-1=0, deci x=0

    Cazul 2:Daca x-1\neq 0, atunci putem imparti prin x-1:

    4(x-1)^2=1

    (x-1)^2=\frac14

    x-1=\pm\frac12

    Pentru obtinem x=\frac32, iar pentru x-1=-\frac12, obtinem x=\frac12.

    Solutiile sunt deci 0, \frac12 si \frac32.

Raspunde

Raspunde