Inregistrare

Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.

Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.

Aveti deja cont ? Login


Aveti deja cont ? Autentificare

Login

Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.

Inregistrare

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare

Resetare parola

V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.

Aveti deja cont ? Autentificare

Va rugam sa va autentificati.

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare

Please briefly explain why you feel this question should be reported.

Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.

Motivul pentru care raportezi utilizatorul.

LoginInregistrare

AniDeȘcoală.ro

AniDeȘcoală.ro Logo AniDeȘcoală.ro Logo

AniDeȘcoală.ro Navigation

  • TEME
  • FUN
  • SCOALA
  • DEX
  • PARENTING
CAUTA
PUNE O INTREBARE

Mobile menu

Inchide
PUNE O INTREBARE
  • HOME
  • TEME
    • Matematica
    • Limba romana
    •  Istorie
    •  Chimie
    • Biologie
    • Geografie
    •  Fizica
    • Informatica
    • Limbi straine
      • Engleza
      • Franceza
      • Germana
      • Altele
    • Diverse
    • Provocari
  • FUN
    • Povești pentru copii
      • Povesti nemuritoare
      • Povesti scurte cu talc
      • Alexandru Mitru
      • Anton Pann
      • Calin Gruia
      • Constanta Nitescu
      • Dumitru Almas
      • Elia David
      • Emil Garleanu
      • Grigore Alexandrescu
      • Ion Creanga
      • Ion Luca Caragiale
      • Marcela Penes
      • Marin Sorescu
      • Petre Ispirescu
      • Victor Eftimiu
      • Alti autori romani
      • Autori straini
        • Antoine de Saint Exupery
        • Charles Perrault
        • Edmondo de Amicis
        • Erika Scheuering
        • Esop
        • Felix Salten
        • Fraţii Grimm
        • Hans Christian Andersen
        • Jean de la Fontaine
        • Johanna Spyri
        • Lev Nicolaevici Tolstoi
        • Rudyard Kipling
        • Virginia Waters
        • Alti autori straini
    • Poezii
      • Grigore Vieru
      • Elena Farago
      • George Toparceanu
      • George Cosbuc
      • Mihai Eminescu
      • Nicolae Labis
      • Otilia Cazimir
      • Tudor Arghezi
      • Vasile Alecsandri
      • Alti autori
    • Stiati ca...
      • Romania
      • Sistemul solar
      • Plante
      • Animale
      • Superlative geografice
      • Altele
    • Citate celebre
    • Proverbe
    • Ghicitori
    • Glume si bancuri
    • Teste de cultura generala
    • Teste de personalitate
    • Probleme distractive
    • Activitati educative
    • Sfaturi practice
    • Planșe de colorat
    • Jocuri in aer liber
    • Abilitati practice
    • Jocuri distractive
    • Cantece pentru copii
    • Codul bunelor maniere
  • SCOALA
    • Matematica
      • Formule Algebra
      • Formule Geometrie
      • Formule Analiza
    • Gramatica
      • Stii sa scrii ?!
      • Părți de propoziție
      • Părți de vorbire
      • Cazurile
      • Sintaxa
      • Diverse
    • Limba romana
      • Bacalaureat
      • Abecedar
    • Cultura generala
  • IARNA
    • Colinde pentru copii
    • Povești de iarnă
    • Povești de Crăciun
    • Craciunul ... ce, cum, cand ?
  • DEX
  • PARENTING
  • PUNCTE SI RANGURI
  • FAQ
  • CONTACT
Home/ Intrebari/Q 1640
Urmator
Answered
ditza
20
ditzauser (0)
Pe: 28 aprilie 20202020-04-28T20:30:38+03:00 2020-04-28T20:30:38+03:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

fisa-combinatorica pls help

fisa-combinatorica

pls help

  • 0
  • 77
  • 1
  • Share
    • Share pe Facebook
    • Share pe Twitter
    • Share pe WhatsApp

Similare

  • Problema de admitere in facultate
  • Se consideră cubul ABCDA'B'C'D'.Aflati: b) Măsură unghiului dintre ...
  • intro urna sunt n bile de trei ...
  • Sa se arate ca urmatoarele functii nu ...
  • A1: Să se determine derivata în punctul ...
  • Efectuează în două moduri, aplicând proprietăți ale ...

7 raspunsuri

  1. Best Answer
    Menim maestru (V)
    2020-05-24T15:38:13+03:00A raspuns pe 24 mai 2020 la 3:38 PM

    1.Trebuie sa gasim numarul de moduri in care se pot aranja 5 elemente. Aceasta este chiar definitia permutarilor, deci avem P_5=5!=120 de moduri.

    2.Multimea A:
    Orice numar reprezinta o permutare a multimii A. Avem deci P_4=4!=24 numere.
    Multimea B:
    Prima cifra a numarului nu poate fi 0. Ne raman deci 3 variante pentru aceasta. Dupa ce am ales prima cifra, raman 3 posibilitati pentru celelalte 3 cifre. Ca la multimea A, alegerea acestor ultime 3 cifre reprezinta o permutare, deci avem P_3=3!=6 variante. Considerand si cele 3 variante pentru prima cifra, avem 3*6=18 variante.

    • 0
    • Raspunde
  2. Menim maestru (V)
    2020-05-27T22:40:50+03:00A raspuns pe 27 mai 2020 la 10:40 PM

    3.a)3!+4!=6+24=30
    5!+3!=120+6=126
    b)6!-5!=6*5!-5!=5*5!=5*120=600
    10!-9!=10*9!-9!=9*9!
    c)frac{124!}{125!}=frac{124!}{124!cdot 125}=frac1{125}
    frac{2011!}{2010!}=frac{2010!cdot 2011}{2010!}=2011
    d)frac{n!}{(n+2)!}=frac{n!}{n!cdot(n+1)(n+2)}=frac1{(n+1)(n+2)}
    frac{n!}{(n-2)!}=frac{(n-2)!(n-1)n}{(n-2)!}=n(n-1)
    e)frac{(2n+1)!}{(2n-2)!}=frac{(2n-2)!(2n-1)2n(2n+1)}{(2n-2)!}=2n(2n-1)(2n+1)
    frac{(2k-4)!}{(2k-2)!}=frac{(2k-4)!}{(2k-4)!(2k-3)(2k-2)}=frac1{(2k-3)(2k-2)}
    f)frac{(2n+m)!}{(2n+m+1)!}=frac{(2n+m)!}{(2n+m)!cdot(2n+m+1)}=frac1{2n+m+1}
    g)frac{(2-n)!}{(3-n)!}=frac{(2-n)!}{(2-n)!(3-n)}=frac1{3-n}
    frac{(5-n)!}{(7-n)!}=frac{(5-n)!}{(5-n)!(6-n)(7-n)}=frac1{(6-n)(7-n)}

    4.a)frac1{2!}-frac2{3!}=frac12-frac26=frac36-frac26=frac16
    frac1{5!}-frac2{4!}=frac1{5!}-frac{2cdot5}{5!}=frac1{5!}-frac{10}{5!}=frac{-9}{5!}=frac{-9}{120}
    b)frac1{0!}-frac2{1!}=frac11-frac21=1-2=-1

    c)frac{1!+2!+3!}{9!(10!-8!)}:frac2{7!}=frac{1+2+6}{7!cdot8cdot9(10!-8!)}cdotfrac{7!}2=frac{9}{8cdot 9(10!-8!)}cdotfrac12=frac1{8(8!cdot9cdot10-8!)}cdotfrac12=frac1{16cdot(8!cdot90-8!)}=frac1{16cdot89cdot8!}
    frac{1!+2!+3!+4!}{5!(9!-8!)}:frac{10}{8cdot8!}=frac{1+2+6+24}{5!(9cdot8!-8!)}cdotfrac{8cdot8!}{10}=frac{33}{5!cdot8cdot8!}cdotfrac{8cdot8!}{10}=frac{33}{5!cdot10}

    d)1cdot1!+2cdot2!+3cdot3!-4cdot4!=1cdot1+2cdot2+3cdot6-4cdot24=1+4+18-96=23-96=-73
    1cdot1!+2cdot2!+3cdot3!+4cdot4!=1cdot1+2cdot2+3cdot6+4cdot24=1+4+18+96=23+96=119

    5.Simplificam mai intai fiecare termen al multimii.
    0!=1
    2!-1!=2-1=1
    frac{5cdot4!cdot4}{2!cdot5!}=frac{5!cdot4}{2cdot5!}=frac42=2
    Observam ca primele 2 elemente sunt de fapt egale. Multimea A devine:
    A=left { 1, 2 right }
    Aceasta multime are 2 elemente, deci 2!=2 permutari, care sunt left { 1, 2 right } si left { 2, 1 right }.

    6.a)Functia factorial este o functie strict crescatoare, deci ecuatia n!=24 are cel mult o solutie. Observam ca 4!=24, deci solutia ecuatiei este n=4.
    b)frac{(n+2)!}{(n+1)!}=7
    frac{(n+2)(n+1)!}{(n+1)!}=7
    n+2=7
    n=5
    c)frac{(2n+3)!}{(2n+1)!}=20
    frac{(2n+1)!(2n+2)(2n+3)}{(2n+1)!}=20
    (2n+2)(2n+3)=20
    2(n+1)(2n+3)=20
    (n+1)(2n+3)=10
    2n^2+3n+2n+3=10
    2n^2+5n-7=0
    Aceasta ecuatie are solutiile 1 si -7/2. A 2-a solutie nu convine deoarece factorialul este definit doar pe numere naturale.
    d)frac{(n+1)!}{(n-3)!}=frac{30(n+1)!}{(n-1)!}
    (n+1)! nu poate fi 0, deci putem imparti prin (n+1)!:
    frac1{(n-3)!}=frac{30}{(n-1)!}
    frac1{(n-3)!}=frac{30}{(n-3)!(n-2)(n-1)}
    Inmultim cu (n-3)!:
    1=frac{30}{(n-2)(n-1)}
    (n-2)(n-1)=30
    Rezolvand aceasta ecuatie de gradul 2, obtinem solutia n=7.
    e)frac{P_{n+3}}{P_{n+1}}=56
    frac{(n+3)!}{(n+1)!}=56
    (n+2)(n+1)=56
    Rezolvand ecuatia de gradul 2, obtinem solutia n=6.

    • 0
    • Raspunde
  3. Menim maestru (V)
    2020-06-06T21:36:32+03:00A raspuns pe 6 iunie 2020 la 9:36 PM

    7.a)frac{P_{x+7}}{P_{x+8}}geqfrac1{16}
    frac{(x+7)!}{(x+8)!}geqfrac1{16}
    frac{(x+7)!}{(x+7)!cdot(x+8)}geqfrac1{16}
    frac1{x+8}geqfrac1{16}
    x+8leq16
    xleq8
    b)frac{(n+1)!}{(n-1)!}leq72
    frac{(n-1)!cdot ncdot (n+1)}{(n-1)!}leq72
    n(n+1)leq72
    n este numar natural nenul, deci strict pozitiv. Observam ca pentru n>0, partea stanga a inegalitatii este strict crescatoare. Observam deasemenea ca pt n=8, partea stanga iar fix valoarea 72. Rezulta ca solutiile cautate sunt 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

    8.begin{cases} P_{x-y}=3P_{x-y-1} \ P_{2x-y+1}=8P_{2x-y} end{cases}
    begin{cases} (x-y)!=3(x-y-1)! \ (2x-y+1)!=8(2x-y)! end{cases}
    begin{cases} (x-y-1)!(x-y)=3(x-y-1)! \ (2x-y)!(2x-y+1)=8(2x-y)! end{cases}
    begin{cases} x-y=3 \ 2x-y+1=8 end{cases}
    Scadem prima ecuatie din a 2-a:
    2x-y+1-(x-y)=8-3
    2x-y+1-x+y=5
    x+1=5
    x=4
    Inlocuim x=4 in prima ecuatie din sistem:
    4-y=3
    y=1

    9.nP_n=ncdot n!=(n+1-1)cdot n!=(n+1)n!-n!=(n+1)!-n!=P_{n+1}-P_{n}

    a)sum_{k=1}^{n} kcdot k!=sum_{k=1}^{n} kcdot P_k=sum_{k=1}^{n}(P_{k+1}-P_k)=-sum_{k=1}^{n}(P_k-P_{k+1})=-((P_1cancel{-P_2})+(cancel{P_2}cancel{-P_3})+(cancel{P_3}cancel{-P_4})+...+(cancel{P_n}-P_{n+1}))=-(P_1-P_{n+1})=P_{n+1}-P_1=(n+1)!-1!=(n+1)!-1

    b)sum_{k=1}^{n} k!(k+1)^2=sum_{k=1}^{n} k!(k+1)cdot(k+1)=sum_{k=1}^{n} (k+1)!(k+1)=sum_{k=1}^{n} (k+1)P_{k+1}=sum_{k=1}^{n}(P_{k+2}-P_{k+1})=-sum_{k=1}^{n}(P_{k+1}-P_{k+2})=-(P_2-P_3+P_3-P_4+...+P_{n+1}-P_{n+2})=-(P_2-P_{n+2})=P_{n+2}-P_2=(n+2)!-2!=(n+2)!-2

    10.frac{n}{P_{n+1}}=frac{n}{(n+1)!}=frac{n+1-1}{(n+1)!}=frac{n+1}{(n+1)!}-frac1{(n+1)!}=frac{1}{n!}-frac{1}{(n+1)!}=frac1{P_n}-frac1{P_{n+1}}

    a)sum_{k=1}^{n}frac{k}{(k+1)!}=sum_{k=1}^{n}frac{k}{P_{k+1}}=sum_{k=1}^{n}(frac1{P_k}-frac1{P_{k+1}})=frac1{P_1}-frac1{P_2}+frac1{P_2}-frac1{P_3}+...+frac1{P_n}-frac1{P_{n+1}}=frac1{P_1}-frac1{P_{n+1}}=frac1{1!}-frac1{(n+1)!}=1-frac1{(n+1)!}

    b)Din pacate editorul de ecuatii nu afiseaza corect(deloc) ecuatiile pentru aceasta problema. Voi incarca maine o poza cu rezolvarea.

    • 0
    • Raspunde
  4. Menim maestru (V)
    2020-06-08T22:34:42+03:00A raspuns pe 8 iunie 2020 la 10:34 PM

    11.a) sum_{k=1}^n(k-1)!cdot k^2=sum_{k=1}^n(k-1)!cdot kcdot k=sum_{k=1}^nk!cdot k=sum_{k=1}^nk!cdot (k+1-1)=sum_{k=1}^nk!cdot (k+1)-sum_{k=1}^nk!=sum_{k=1}^n(k+1)!-sum_{k=1}^n(k)!=-(sum_{k=1}^n(k)!-sum_{k=1}^n(k+1)!)=-(1!-2!+2!-3!+...+n!-(n+1)!)=-(1!-(n+1)!)=-1+(n+1)!=(n+1)!-1

    b)sum_{k=1}^nk!(k^2+k+1)=sum_{k=1}^nk!(k^2+2k+1-k)=sum_{k=1}^nk!((k+1)^2-k)=sum_{k=1}^nk!(k+1)^2-sum_{k=1}^nk!k=sum_{k=1}^n(k+1)!(k+1)-sum_{k=1}^nkk!=-(sum_{k=1}^nkk!-sum_{k=1}^n(k+1)(k+1)!)=-(1cdot1!-2cdot2!+2cdot2!-3cdot3!+...+ncdot n!-(n+1)cdot(n+1)!)=-(1cdot1!-(n+1)(n+1)!)=-(1-(n+1)(n+1)!)=(n+1)(n+1)!-1

    c)sum_{k=1}^nfrac{(k-1)!}{(k+1)!}=sum_{k=1}^nfrac1{k(k+1)}=sum_{k=1}^nfrac{(k+1)-k}{k(k+1)}=sum_{k=1}^n(frac1k-frac1{k+1})=(frac11-frac12+frac12-frac13+...+frac1n-frac1{n+1})=1-frac1{n+1}

    d)sum_{k=1}^nfrac{(k+1)!}{(k-1)!}=sum_{k=1}^nk(k+1)=sum_{k=1}^nk^2+sum_{k=1}^nk=frac{n(n+1)(2n+1)}6+frac{n(n+1)}2=frac{n(n+1)(2n+1)-3n(n+1)}6=frac{n(n+1)(2n+1-3)}6=frac{n(n+1)(2n-2)}{6}=frac{n(n+1)(n-1)}3

    Revenim la a 2-a suma de la exercitiul 10:
    sum_{k=1}^nfrac{k^2+k+1}{(k+1)!k(k+1)}=sum_{k=1}^nfrac{k^2+2k+1-k}{(k+1)!k(k+1)}=sum_{k=1}^nfrac{(k+1)^2-k}{(k+1)!k(k+1)}=sum_{k=1}^nfrac{(k+1)^2}{(k+1)!k(k+1)}-sum_{k=1}^nfrac{k}{(k+1)!k(k+1)}=sum_{k=1}^nfrac{1}{kk!}-sum_{k=1}^nfrac1{(k+1)!(k+1)}=frac1{1cdot1!}-frac1{2cdot2!}+frac1{2cdot2!}-frac1{3cdot3!}+...+frac1{ncdot n!}-frac1{(n+1)(n+1)!}=1-frac1{(n+1)(n+1)!}

    • 0
    • Raspunde
  5. Menim maestru (V)
    2020-06-10T19:43:40+03:00A raspuns pe 10 iunie 2020 la 7:43 PM

    Aranjamente
    1.Trebuie sa alegem 4 elemente dintr-o multime de 6, contand ordinea acestora. Numarul de moduri este deci A_6^4=frac{6!}{(6-4)!}=frac{6!}{2!}=frac{720}{2}=360.

    2.Trebuie sa alegem 3 elemente dintr-o multime de 5, contand ordinea acestora. Numarul de moduri in care putem face asta este A_5^3=frac{5!}{(5-3)!}=frac{120}{2}=60. Numerele de 3 cifre nu pot avea insa prima cifra 0. Daca consideram prima cifra egala cu 0, atunci pentru celelalte 2 cifre trebuie sa alegem 2 elemente dintr-o multime de 4(deoarece nu il mai putem folosi pe 0). Avem A_4^2=frac{4!}{2!}=frac{24}{2}=12 moduri.
    Scadem din totalul de 60 cele 12 numere invalide si obtinem 60-12=48 numere.

    3.A_6^4=frac{6!}{(6-4)!}=frac{6!}{2!}=frac{720}2=360
    A_6^0=frac{6!}{(6-0)!}=1
    A_3^1=frac{3!}{(3-1)!}=frac{3!}{2!}=3
    A_3^2=frac{3!}{(3-2)!}=frac{3!}{1!}=frac61=6
    A_7^4=frac{7!}{(7-4)!}=frac{7!}{3!}=frac{5040}{6}=840
    A_7^3=frac{7!}{(7-3)!}=frac{7!}{4!}=frac{5040}{24}=240
    Calculele ramase sunt adunari, scaderi etc. directe.

    • 0
    • Raspunde
  6. Menim maestru (V)
    2020-06-15T22:43:04+03:00A raspuns pe 15 iunie 2020 la 10:43 PM

    4.a)i.frac{A_8^6+A_8^5}{A_8^4}=frac{frac{8!}{(8-6)!}+frac{8!}{(8-5)!}}{frac{8!}{(8-4)!}}=frac{frac1{2!}+frac1{3!}}{frac1{4!}}=frac{frac12+frac16}{frac1{24}}=frac{frac36+frac16}{frac1{24}}=frac{frac46}{frac1{24}}=frac{frac23}{frac1{24}}=frac23cdot24=2cdot8=16

    ii.frac{A_4^3+A_5^4}{A_4^3}=frac{A_4^3}{A_4^3}+frac{A_5^4}{A_4^3}=1+frac{frac{5!}{(5-4)!}}{frac{4!}{(4-3)!}}=1+frac{frac{5!}{1!}}{frac{4!}{1!}}=1+frac{5!}{4!}=1+5=6

    iii.frac{A_7^4+A_6^5}{A_5^4}=frac{frac{7!}{(7-4)!}+frac{6!}{(6-5)!}}{frac{5!}{(5-4)!}}=frac{frac{7!}{3!}+frac{6!}{1!}}{frac{5!}{1!}}=frac{4cdot5cdot6cdot7+6!}{5!}=frac{4cdot5cdot6cdot7+2cdot3cdot4cdot5cdot6}{2cdot3cdot4cdot5}=frac{6cdot7+2cdot3cdot6}{2cdot3}=6+7=13

    b)i.frac{A_7^3+A_6^4}{A_5^3}=frac{frac{7!}{(7-3)!}+frac{6!}{(6-4)!}}{frac{5!}{(5-3)!}}=frac{frac{7!}{4!}+frac{6!}{2!}}{frac{5!}{2!}}=frac{5cdot6cdot7+frac{6!}{2}}{frac{5!}{2}}=frac{2cdot5cdot6cdot7+6!}{5!}=frac{2cdot5cdot6cdot7+2cdot3cdot4cdot5cdot6}{2cdot3cdot4cdot5}=frac{6cdot7+3cdot4cdot6}{3cdot4}=frac{2cdot7+4cdot6}{4}=frac{7+2cdot6}{2}=frac{19}2

    ii.frac{A_5^4+A_6^5}{A_6^4}=frac{frac{5!}{(5-4)!}+frac{6!}{(6-5)!}}{frac{6!}{(6-4)!}}=frac{frac{5!}{1!}+frac{6!}{1!}}{frac{6!}{2!}}=frac{5!+6!}{frac{6!}{2}}=frac{2(5!+6!)}{6!}=frac{2(1+6)}{6}=frac{7}{3}

    iii.frac{A_7^4+A_6^5}{A_5^4}=frac{frac{7!}{(7-4)!}+frac{6!}{(6-5)!}}{frac{5!}{(5-4)!}}=frac{frac{7!}{3!}+frac{6!}{1!}}{frac{5!}{1!}}=frac{4cdot5cdot6cdot7+6!}{5!}=frac{4cdot5cdot6cdot7+2cdot3cdot4cdot5cdot6}{2cdot3cdot4cdot5}=frac{6cdot7+2cdot3cdot6}{2cdot3}=7+6=13

    c)i.frac{A_n^{k-1}}{A_n^{k+1}+A_n^k}=frac{frac{n!}{(n-(k-1))!}}{frac{n!}{(n-(k+1))!}+frac{n!}{(n-k)!}}=frac{frac1{(n-k+1)!}}{frac1{(n-k-1)!}+frac1{(n-k)!}}=frac{frac1{(n-k-1)!(n-k)(n-k+1)}}{frac1{(n-k-1)!}+frac1{(n-k-1)!(n-k)}}=frac{frac1{(n-k)(n-k+1)}}{1+frac1{n-k}}=frac{frac1{n-k+1}}{n-k+1}=frac1{(n-k+1)^2}

    ii.frac{(2n-k+2)A_{2n}^{k-3}}{A_{2n}^k+A_{2n}^{k-1}}=frac{(2n-k+2)frac{(2n)!}{(2n-(k-3))!}}{frac{(2n)!}{(2n-k)!}+frac{(2n)!}{(2n-(k-1)!)}}=frac{(2n-k+2)frac{(2n)!}{(2n-k+3)!}}{frac{(2n)!}{(2n-k)!}+frac{(2n)!}{(2n-k+1)!}}=frac{(2n-k+2)frac1{(2n-k+3)!}}{frac1{(2n-k)!}+frac1{(2n-k+1)!}}=frac{(2n-k+2)frac1{(2n-k)!(2n-k+1)(2n-k+2)(2n-k+3)}}{frac1{(2n-k)!}+frac1{(2n-k)!(2n-k+1)}}=frac{frac1{(2n-k+1)(2n-k+3)}}{1+frac1{(2n-k+1)}}=frac{frac1{(2n-k+3)}}{2n-k+1+1}=frac1{(2n-k+3)(2n-k+2)}

    iii.frac{A_n^k-nA_{n-1}^{k-1}}{A_{n+1}^{k+1}}=frac{frac{n!}{(n-k)!}-nfrac{(n-1)!}{(n-1-(k-1))!}}{A_{n+1}^{k+1}}=frac{frac{n!}{(n-k)!}-frac{n!}{(n-1-k+1)!}}{A_{n+1}^{k+1}}=frac{frac{n!}{(n-k)!}-frac{n!}{(n-k)!}}{A_{n+1}^{k+1}}=frac{0}{A_{n+1}^{k+1}}=0

    • 0
    • Raspunde
  7. Menim maestru (V)
    2020-06-18T20:22:05+03:00A raspuns pe 18 iunie 2020 la 8:22 PM

    5.a)A_n^{n-1}=frac{n!}{(n-(n-1))!}=frac{n!}{(n-n+1)!}=frac{n!}{1!}=frac{n!}{1}=frac{n!}{0!}=frac{n!}{(n-n)!}=A_n^n
    b)A_{n+1}^{k+1}=frac{(n+1)!}{(n+1-(k+1))!}=frac{(n+1)n!}{(n+1-k-1)!}=(n+1)frac{n!}{(n-k)!}=(n+1)A_n^k
    c)A_n^{k+1}=frac{n!}{(n-(k+1))!}=frac{n!}{(n-k-1)!}=(n-k)frac{n!}{(n-k-1)!(n-k)}=(n-k)frac{n!}{(n-k)!}=(n-k)A_n^k

    6.a)i.A_{n-5}^3=24
    frac{(n-5)!}{(n-5-3)!}=24
    frac{(n-5)!}{(n-8)!}=24
    (n-7)(n-6)(n-5)=24
    Pentru ca aranjamentul sa existe, este necesar ca n-5 sa fie mai mare decat 2, adica n sa fie mai mare decat 7. De aceea, fiecare dintre termenii din membrul stang sunt pozitivi si strict crescatori. Rezulta ca membrul stang este strict pozitiv, deci ecuatia are cel mult o solutie. Observam ca n=9 este solutia cautata.

    ii.A_x^4=30(x-2)(x-3)
    frac{x!}{(x-4)!}=30(x-2)(x-3)
    (x-3)(x-2)(x-1)x=30(x-2)(x-3)
    Pentru ca aranjamentele sa existe, este necesar ca x sa fie mai mare decat 3. Rezulta ca (x-2)(x-3) este diferit de 0, deci putem imparti prin el:
    x(x-1)=30
    Cum x este mai mare decat 3, x(x-1) este strict pozitiv, deci avem cel mult o solutie. Observam ca x=6 este solutie.

    b)i.A_{n+3}^3=30frac{P_{n+1}}{P_n}
    frac{(n+3)!}{(n+3-3)!}=30frac{(n+1)!}{n!}
    frac{(n+3)!}{n!}=30(n+1)
    (n+1)(n+2)(n+3)=30(n+1)
    Pentru ca aranjamentele sa existe trebuie ca n+3 sa fie mai mare decat 2, deci n mai mare decat -1. Rezulta ca n+1 diferit de 0, deci putem imparti prin el:
    (n+2)(n+3)=30
    Deoarece n este mai mare decat -1, membrul stang este strict crescator, deci ecuatia are cel mult o solutie. Observam ca n=3 este solutia.

    ii.6(x-5)!A_{x-2}^5=x!
    6frac{(x-2)!}{(x-2-5)!}=(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x
    6frac{(x-2)!}{(x-7)!}=(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x
    6(x-6)(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)=(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x
    Pentru ca aranjamentele sa existe, trebuie ca x-2 sa fie mai mare decat 4, adica x mai mare decat 6. Rezulta ca (x-4)(x-3)(x-2) este diferit de 0, deci putem imparti prin el:
    6(x-6)(x-5)=(x-1)x
    6(x^2-5x-6x+30)=x^2-x
    6x^2-66x+180=x^2-x
    5x^2-65x+180=0
    Impartim prin 5:
    x^2-13x+36=0
    Ecuatia de mai sus are radacinile 4 si 9. Doar 9 convine.

    c)i.frac{A_n^{10}-A_n^8}{A_n^8}=131
    frac{A_n^{10}}{A_n^8}-1=131
    frac{frac{n!}{(n-10)!}}{frac{n!}{(n-8)!}}=132
    frac{n!}{(n-10)!}cdotfrac{(n-8)!}{n!}=132
    frac{(n-8)!}{(n-10)!}=132
    (n-9)(n-8)=132
    Pentru ca aranjamentele sa existe, n trebuie sa fie mai mare decat 9, deci membrul stang este strict crescator, ecuatia avand cel mult o solutie. Observam ca n=20 este solutia cautata.

    ii.A_{n+4}^3=20A_{n+2}^1
    frac{(n+4)!}{(n+4-3)!}=20frac{(n+2)!}{(n+2-1)!}
    frac{(n+4)!}{(n+1)!}=20frac{(n+2)!}{(n+1)!}
    (n+4)!=20(n+2)!
    (n+3)(n+4)=20
    Pentru ca aranjamentele sa existe, trebuie ca n+4 sa fie mai mare decat 2, adica n mai mare decat -2. Rezulta ca membrul stang este strict crescator, deci avem cel mult o solutie. n=1 este solutia cautata.

    7.a)i.A_{2n-1}^2leq930
    frac{(2n-1)!}{(2n-1-2)!}leq930
    frac{(2n-1)!}{(2n-3)!}leq930
    (2n-2)(2n-1)leq930
    Pentru ca aranjamentele sa existe, este necesar ca 2n-1 sa fie mai mare decat 1, deci 2n-2 sa fie mai mare decat 0. De asemenea, daca 2n-1 este mai mare decat 1, atunci 2n este mai mare decat 2, deci n mai mare decat 1. Rezulta ca membrul stang al inegalitatii este strict crescator. Observam ca pentru n=16, obtinem 30*31=930, deci solutia inecuatiei este intervalul (1, 16].

    ii.A_x^4leq30(x-2)(x-3)
    frac{x!}{(x-4)!}leq30(x-2)(x-3)
    (x-3)(x-2)(x-1)xleq30(x-2)(x-3)
    Pentur ca aranjamentele sa existe, este necesar ca x sa fie mai mare decat 3, deci (x-3)(x-2) este strict pozitiv, deci putem imparti prin el:
    (x-1)xleq30
    Deoarece x este mai mare decat 3, membrul stang este strict crescator. Observam ca pt x=6, membrul stang este egal cu 30, deci solutia inecuatiei este intervalul (3, 6].

    b)i.A_{n+1}^3leq90cdotfrac{P_{n-1}}{P_n}cdot A_{n+1}^2
    frac{(n+1)!}{(n+1-3)!}leq90cdotfrac{(n-1)!}{n!}cdotfrac{(n+1)!}{(n+1-2)!}
    frac{(n+1)!}{(n-2)!}leq90cdotfrac1{n}cdotfrac{(n+1)!}{(n-1)!}
    (n-1)n(n+1)leq90cdotfrac1ncdot n(n+1)
    (n-1)n(n+1)leq90(n+1)
    Pentru ca aranjamentele sa existe, este necesar ca n+1 sa fie mai mare decat 2. Fiind strict pozitiv, impartim prin el:
    (n-1)nleq90
    Deoarece n+1 este mai mare decat 2, rezulta ca n este mai mare decat 1. Membrul stang este pozitiv si strict crescator. Observam ca pt n=10, membrul stang este egal cu 90. Solutia inecuatiei este deci intervalul (1, 10].

    ii.6(x-5)!A_{x-2}^5leq x!
    6(x-5)!frac{(x-2)!}{(x-2-5)!}leq x!
    6(x-5)!frac{(x-2)!}{(x-7)!}leq x!
    6(x-5)!(x-6)(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)leq x!
    6(x-6)(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)leqfrac{x!}{(x-5)!}
    6(x-6)(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)leq(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x
    Pentru ca aranjamentele sa existe, este necesar ca x-2 sa fie mare decat 4, deci x mai mare decat 6. Rezulta ca (x-4)(x-3)(x-2) este strict pozitiv. Impartim prin el.
    6(x-6)(x-5)leq(x-1)x
    6(x^2-5x-6x+30)leq x^2-x
    6x^2-66x+180leq x^2-x
    5x^2-65x+180leq0
    Simplificam prin 5:
    x^2-13x+36leq0
    Radacinile polinomului din membrul stang sunt 4 si 9. Acesta este negativ pe intervalele (-inf, 4] si [9, +inf). Deoarece x trebuie sa fie mai mare decat 6, doar al doilea interval convine.

    c)i.182A_n^2geq A_{n+2}^4
    182frac{n!}{(n-2)!}geqfrac{(n+2)!}{(n+2-4)!}
    182frac{n!}{(n-2)!}geqfrac{(n+2)!}{(n-2)!}
    182n!geq(n+2)!
    182geq n(n+1)
    n(n+1)leq182
    Pentru ca aranjamentele sa existe, trebuie ca n sa fie mai mare decat 1, deci membrul stang este strict crescator. Observam ca pentru n=13, membrul stang este egal cu 182, deci solutia inecuatiei este intervalul (1, 13].

    ii.A_{10}^xleq5A_{10}^{x-1}
    frac{10!}{(10-x)!}leq5frac{10!}{(10-(x-1))!}
    frac1{(10-x)!}leqfrac5{(10-x+1)!}
    Inmultim cu numitorul membrului drept:
    10-x+1leq5
    6leq x
    Pentru ca aranjamentele sa existe, este necesar ca x sa fie mai mic sau egal cu 10, deci solutia este intervalul [6, 10].

    • 0
    • Raspunde
Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul


Sidebar

PUNE O INTREBARE
  • IARNA
    • Colinde pentru copii
    • Povești de iarnă
    • Povești de Crăciun
    • Craciunul ... ce, cum, cand ?
  • FUN
    • Povești pentru copii
    • Povesti scurte cu talc
    • Povesti nemuritoare
    • Poezii
    • Stiati ca...
    • Citate celebre
    • Proverbe
    • Ghicitori
    • Glume si bancuri
  • SCOALA
    • Matematica
      • Formule Algebra
      • Formule Geometrie
      • Formule Analiza
    • Stii sa scrii ?!
    • Comentarii si rezumate
    • Cultura generala

Explore

  • Matematica
  • Limba romana
  •  Istorie
  •  Chimie
  • Biologie
  • Geografie
  •  Fizica
  • Informatica
  • Limbi straine
    • Engleza
    • Franceza
    • Germana
    • Altele
  • Diverse
  • Provocari

Footer

Despre noi

Platforma educationala pentru copii, parinti si profesori. Pune intrebari si primeste raspunsuri de la profesori si utilizatori experimentati. Transmite sugestii, povesti, articole etc.

Utile

  • Puncte si Ranguri
  • FAQ
  • Termeni și condiţii
  • Contact

Proiecte

  • Parenting
  • Dictionar explicativ
  • Matematica
  • Gramatica limbii romane
  • Trafic

Statistici

  • Intrebari : 30.717
  • Raspunsuri : 69.927
  • Best Answers : 392
  • Articole : 5.220
  • Comentarii : 15.407

Inserează/editează legătura

Introdu URL-ul de destinație

Sau leagă-te la conținutul existent

    Nu ai specificat niciun termen de căutare. Arăt elementele recente. Căută sau folosește tastele săgeată sus și jos pentru a selecta un element.