pls help
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
1.Trebuie sa gasim numarul de moduri in care se pot aranja 5 elemente. Aceasta este chiar definitia permutarilor, deci avem
de moduri.
2.Multimea A:
numere.
variante. Considerand si cele 3 variante pentru prima cifra, avem 3*6=18 variante.
Orice numar reprezinta o permutare a multimii A. Avem deci
Multimea B:
Prima cifra a numarului nu poate fi 0. Ne raman deci 3 variante pentru aceasta. Dupa ce am ales prima cifra, raman 3 posibilitati pentru celelalte 3 cifre. Ca la multimea A, alegerea acestor ultime 3 cifre reprezinta o permutare, deci avem
3.a)3!+4!=6+24=30

!}=\frac{n!}{n!\cdot(n+1)(n+2)}=\frac1{(n+1)(n+2)})
!}=\frac{(n-2)!(n-1)n}{(n-2)!}=n(n-1))
!}{(2n-2)!}=\frac{(2n-2)!(2n-1)2n(2n+1)}{(2n-2)!}=2n(2n-1)(2n+1))
!}{(2k-2)!}=\frac{(2k-4)!}{(2k-4)!(2k-3)(2k-2)}=\frac1{(2k-3)(2k-2)})
!}{(2n+m+1)!}=\frac{(2n+m)!}{(2n+m)!\cdot(2n+m+1)}=\frac1{2n+m+1})
!}{(3-n)!}=\frac{(2-n)!}{(2-n)!(3-n)}=\frac1{3-n})
!}{(7-n)!}=\frac{(5-n)!}{(5-n)!(6-n)(7-n)}=\frac1{(6-n)(7-n)})
5!+3!=120+6=126
b)6!-5!=6*5!-5!=5*5!=5*120=600
10!-9!=10*9!-9!=9*9!
c)
d)
e)
f)
g)
4.a)


b)
c)}:\frac2{7!}=\frac{1+2+6}{7!\cdot8\cdot9(10!-8!)}\cdot\frac{7!}2=\frac{9}{8\cdot&space;9(10!-8!)}\cdot\frac12=\frac1{8(8!\cdot9\cdot10-8!)}\cdot\frac12=\frac1{16\cdot(8!\cdot90-8!)}=\frac1{16\cdot89\cdot8!})
}:\frac{10}{8\cdot8!}=\frac{1+2+6+24}{5!(9\cdot8!-8!)}\cdot\frac{8\cdot8!}{10}=\frac{33}{5!\cdot8\cdot8!}\cdot\frac{8\cdot8!}{10}=\frac{33}{5!\cdot10})
d)

5.Simplificam mai intai fiecare termen al multimii.


si
.
0!=1
2!-1!=2-1=1
Observam ca primele 2 elemente sunt de fapt egale. Multimea A devine:
Aceasta multime are 2 elemente, deci 2!=2 permutari, care sunt
6.a)Functia factorial este o functie strict crescatoare, deci ecuatia n!=24 are cel mult o solutie. Observam ca 4!=24, deci solutia ecuatiei este n=4.!}{(n+1)!}=7)
(n+1)!}{(n+1)!}=7)


!}{(2n+1)!}=20)
!(2n+2)(2n+3)}{(2n+1)!}=20)
(2n+3)=20)
(2n+3)=20)
(2n+3)=10)


!}{(n-3)!}=\frac{30(n+1)!}{(n-1)!})
!}=\frac{30}{(n-1)!})
!}=\frac{30}{(n-3)!(n-2)(n-1)})
(n-1)})
(n-1)=30)

!}{(n+1)!}=56)
(n+1)=56)
b)
c)
Aceasta ecuatie are solutiile 1 si -7/2. A 2-a solutie nu convine deoarece factorialul este definit doar pe numere naturale.
d)
(n+1)! nu poate fi 0, deci putem imparti prin (n+1)!:
Inmultim cu (n-3)!:
Rezolvand aceasta ecuatie de gradul 2, obtinem solutia n=7.
e)
Rezolvand ecuatia de gradul 2, obtinem solutia n=6.
7.a)
!}{(x+8)!}\geq\frac1{16})
!}{(x+7)!\cdot(x+8)}\geq\frac1{16})



!}{(n-1)!}\leq72)
!\cdot&space;n\cdot&space;(n+1)}{(n-1)!}\leq72)
\leq72)
b)
n este numar natural nenul, deci strict pozitiv. Observam ca pentru n>0, partea stanga a inegalitatii este strict crescatoare. Observam deasemenea ca pt n=8, partea stanga iar fix valoarea 72. Rezulta ca solutiile cautate sunt 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
8.
!=3(x-y-1)!&space;\\&space;(2x-y+1)!=8(2x-y)!&space;\end{cases})
!(x-y)=3(x-y-1)!&space;\\&space;(2x-y)!(2x-y+1)=8(2x-y)!&space;\end{cases})

=8-3)





Scadem prima ecuatie din a 2-a:
Inlocuim x=4 in prima ecuatie din sistem:
9.\cdot&space;n!=(n+1)n!-n!=(n+1)!-n!=P_{n+1}-P_{n})
a)=-\sum_{k=1}^{n}(P_k-P_{k+1})=-((P_1\cancel{-P_2})+(\cancel{P_2}\cancel{-P_3})+(\cancel{P_3}\cancel{-P_4})+...+(\cancel{P_n}-P_{n+1}))=-(P_1-P_{n+1})=P_{n+1}-P_1=(n+1)!-1!=(n+1)!-1)
b)^2=\sum_{k=1}^{n}&space;k!(k+1)\cdot(k+1)=\sum_{k=1}^{n}&space;(k+1)!(k+1)=\sum_{k=1}^{n}&space;(k+1)P_{k+1}=\sum_{k=1}^{n}(P_{k+2}-P_{k+1})=-\sum_{k=1}^{n}(P_{k+1}-P_{k+2})=-(P_2-P_3+P_3-P_4+...+P_{n+1}-P_{n+2})=-(P_2-P_{n+2})=P_{n+2}-P_2=(n+2)!-2!=(n+2)!-2)
10.!}=\frac{n+1-1}{(n+1)!}=\frac{n+1}{(n+1)!}-\frac1{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}=\frac1{P_n}-\frac1{P_{n+1}})
a)!}=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{P_{k+1}}=\sum_{k=1}^{n}(\frac1{P_k}-\frac1{P_{k+1}})=\frac1{P_1}-\frac1{P_2}+\frac1{P_2}-\frac1{P_3}+...+\frac1{P_n}-\frac1{P_{n+1}}=\frac1{P_1}-\frac1{P_{n+1}}=\frac1{1!}-\frac1{(n+1)!}=1-\frac1{(n+1)!})
b)Din pacate editorul de ecuatii nu afiseaza corect(deloc) ecuatiile pentru aceasta problema. Voi incarca maine o poza cu rezolvarea.
11.a)!\cdot&space;k^2=\sum_{k=1}^n(k-1)!\cdot&space;k\cdot&space;k=\sum_{k=1}^nk!\cdot&space;k=\sum_{k=1}^nk!\cdot&space;(k+1-1)=\sum_{k=1}^nk!\cdot&space;(k+1)-\sum_{k=1}^nk!=\sum_{k=1}^n(k+1)!-\sum_{k=1}^n(k)!=-(\sum_{k=1}^n(k)!-\sum_{k=1}^n(k+1)!)=-(1!-2!+2!-3!+...+n!-(n+1)!)=-(1!-(n+1)!)=-1+(n+1)!=(n+1)!-1)
b)=\sum_{k=1}^nk!(k^2+2k+1-k)=\sum_{k=1}^nk!((k+1)^2-k)=\sum_{k=1}^nk!(k+1)^2-\sum_{k=1}^nk!k=\sum_{k=1}^n(k+1)!(k+1)-\sum_{k=1}^nkk!=-(\sum_{k=1}^nkk!-\sum_{k=1}^n(k+1)(k+1)!)=-(1\cdot1!-2\cdot2!+2\cdot2!-3\cdot3!+...+n\cdot&space;n!-(n+1)\cdot(n+1)!)=-(1\cdot1!-(n+1)(n+1)!)=-(1-(n+1)(n+1)!)=(n+1)(n+1)!-1)
c)!}{(k+1)!}=\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n(\frac1k-\frac1{k+1})=(\frac11-\frac12+\frac12-\frac13+...+\frac1n-\frac1{n+1})=1-\frac1{n+1})
d)!}{(k-1)!}=\sum_{k=1}^nk(k+1)=\sum_{k=1}^nk^2+\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+\frac{n(n+1)}2=\frac{n(n+1)(2n+1)-3n(n+1)}6=\frac{n(n+1)(2n+1-3)}6=\frac{n(n+1)(2n-2)}{6}=\frac{n(n+1)(n-1)}3)
Revenim la a 2-a suma de la exercitiul 10:
!k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\frac{k^2+2k+1-k}{(k+1)!k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\frac{(k+1)^2-k}{(k+1)!k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\frac{(k+1)^2}{(k+1)!k(k+1)}-\sum_{k=1}^n\frac{k}{(k+1)!k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{kk!}-\sum_{k=1}^n\frac1{(k+1)!(k+1)}=\frac1{1\cdot1!}-\frac1{2\cdot2!}+\frac1{2\cdot2!}-\frac1{3\cdot3!}+...+\frac1{n\cdot&space;n!}-\frac1{(n+1)(n+1)!}=1-\frac1{(n+1)(n+1)!})
Aranjamente
.
1.Trebuie sa alegem 4 elemente dintr-o multime de 6, contand ordinea acestora. Numarul de moduri este deci
2.Trebuie sa alegem 3 elemente dintr-o multime de 5, contand ordinea acestora. Numarul de moduri in care putem face asta este
. Numerele de 3 cifre nu pot avea insa prima cifra 0. Daca consideram prima cifra egala cu 0, atunci pentru celelalte 2 cifre trebuie sa alegem 2 elemente dintr-o multime de 4(deoarece nu il mai putem folosi pe 0). Avem
moduri.
Scadem din totalul de 60 cele 12 numere invalide si obtinem 60-12=48 numere.
3.!}=\frac{6!}{2!}=\frac{720}2=360)
!}=1)
!}=\frac{3!}{2!}=3)
!}=\frac{3!}{1!}=\frac61=6)
!}=\frac{7!}{3!}=\frac{5040}{6}=840)
!}=\frac{7!}{4!}=\frac{5040}{24}=240)
Calculele ramase sunt adunari, scaderi etc. directe.
4.a)i.!}+\frac{8!}{(8-5)!}}{\frac{8!}{(8-4)!}}=\frac{\frac1{2!}+\frac1{3!}}{\frac1{4!}}=\frac{\frac12+\frac16}{\frac1{24}}=\frac{\frac36+\frac16}{\frac1{24}}=\frac{\frac46}{\frac1{24}}=\frac{\frac23}{\frac1{24}}=\frac23\cdot24=2\cdot8=16)
ii.!}}{\frac{4!}{(4-3)!}}=1+\frac{\frac{5!}{1!}}{\frac{4!}{1!}}=1+\frac{5!}{4!}=1+5=6)
iii.!}+\frac{6!}{(6-5)!}}{\frac{5!}{(5-4)!}}=\frac{\frac{7!}{3!}+\frac{6!}{1!}}{\frac{5!}{1!}}=\frac{4\cdot5\cdot6\cdot7+6!}{5!}=\frac{4\cdot5\cdot6\cdot7+2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}{2\cdot3\cdot4\cdot5}=\frac{6\cdot7+2\cdot3\cdot6}{2\cdot3}=6+7=13)
b)i.!}+\frac{6!}{(6-4)!}}{\frac{5!}{(5-3)!}}=\frac{\frac{7!}{4!}+\frac{6!}{2!}}{\frac{5!}{2!}}=\frac{5\cdot6\cdot7+\frac{6!}{2}}{\frac{5!}{2}}=\frac{2\cdot5\cdot6\cdot7+6!}{5!}=\frac{2\cdot5\cdot6\cdot7+2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}{2\cdot3\cdot4\cdot5}=\frac{6\cdot7+3\cdot4\cdot6}{3\cdot4}=\frac{2\cdot7+4\cdot6}{4}=\frac{7+2\cdot6}{2}=\frac{19}2)
ii.!}+\frac{6!}{(6-5)!}}{\frac{6!}{(6-4)!}}=\frac{\frac{5!}{1!}+\frac{6!}{1!}}{\frac{6!}{2!}}=\frac{5!+6!}{\frac{6!}{2}}=\frac{2(5!+6!)}{6!}=\frac{2(1+6)}{6}=\frac{7}{3})
iii.!}+\frac{6!}{(6-5)!}}{\frac{5!}{(5-4)!}}=\frac{\frac{7!}{3!}+\frac{6!}{1!}}{\frac{5!}{1!}}=\frac{4\cdot5\cdot6\cdot7+6!}{5!}=\frac{4\cdot5\cdot6\cdot7+2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}{2\cdot3\cdot4\cdot5}=\frac{6\cdot7+2\cdot3\cdot6}{2\cdot3}=7+6=13)
c)i.)!}}{\frac{n!}{(n-(k+1))!}+\frac{n!}{(n-k)!}}=\frac{\frac1{(n-k+1)!}}{\frac1{(n-k-1)!}+\frac1{(n-k)!}}=\frac{\frac1{(n-k-1)!(n-k)(n-k+1)}}{\frac1{(n-k-1)!}+\frac1{(n-k-1)!(n-k)}}=\frac{\frac1{(n-k)(n-k+1)}}{1+\frac1{n-k}}=\frac{\frac1{n-k+1}}{n-k+1}=\frac1{(n-k+1)^2})
ii.A_{2n}^{k-3}}{A_{2n}^k+A_{2n}^{k-1}}=\frac{(2n-k+2)\frac{(2n)!}{(2n-(k-3))!}}{\frac{(2n)!}{(2n-k)!}+\frac{(2n)!}{(2n-(k-1)!)}}=\frac{(2n-k+2)\frac{(2n)!}{(2n-k+3)!}}{\frac{(2n)!}{(2n-k)!}+\frac{(2n)!}{(2n-k+1)!}}=\frac{(2n-k+2)\frac1{(2n-k+3)!}}{\frac1{(2n-k)!}+\frac1{(2n-k+1)!}}=\frac{(2n-k+2)\frac1{(2n-k)!(2n-k+1)(2n-k+2)(2n-k+3)}}{\frac1{(2n-k)!}+\frac1{(2n-k)!(2n-k+1)}}=\frac{\frac1{(2n-k+1)(2n-k+3)}}{1+\frac1{(2n-k+1)}}=\frac{\frac1{(2n-k+3)}}{2n-k+1+1}=\frac1{(2n-k+3)(2n-k+2)})
iii.!}-n\frac{(n-1)!}{(n-1-(k-1))!}}{A_{n+1}^{k+1}}=\frac{\frac{n!}{(n-k)!}-\frac{n!}{(n-1-k+1)!}}{A_{n+1}^{k+1}}=\frac{\frac{n!}{(n-k)!}-\frac{n!}{(n-k)!}}{A_{n+1}^{k+1}}=\frac{0}{A_{n+1}^{k+1}}=0)
5.a))!}=\frac{n!}{(n-n+1)!}=\frac{n!}{1!}=\frac{n!}{1}=\frac{n!}{0!}=\frac{n!}{(n-n)!}=A_n^n)
!}{(n+1-(k+1))!}=\frac{(n+1)n!}{(n+1-k-1)!}=(n+1)\frac{n!}{(n-k)!}=(n+1)A_n^k)
)!}=\frac{n!}{(n-k-1)!}=(n-k)\frac{n!}{(n-k-1)!(n-k)}=(n-k)\frac{n!}{(n-k)!}=(n-k)A_n^k)
b)
c)
6.a)i.
!}{(n-5-3)!}=24)
!}{(n-8)!}=24)
(n-6)(n-5)=24)
Pentru ca aranjamentul sa existe, este necesar ca n-5 sa fie mai mare decat 2, adica n sa fie mai mare decat 7. De aceea, fiecare dintre termenii din membrul stang sunt pozitivi si strict crescatori. Rezulta ca membrul stang este strict pozitiv, deci ecuatia are cel mult o solutie. Observam ca n=9 este solutia cautata.
ii.(x-3))
!}=30(x-2)(x-3))
(x-2)(x-1)x=30(x-2)(x-3))
=30)
Pentru ca aranjamentele sa existe, este necesar ca x sa fie mai mare decat 3. Rezulta ca (x-2)(x-3) este diferit de 0, deci putem imparti prin el:
Cum x este mai mare decat 3, x(x-1) este strict pozitiv, deci avem cel mult o solutie. Observam ca x=6 este solutie.
b)i.
!}{(n+3-3)!}=30\frac{(n+1)!}{n!})
!}{n!}=30(n+1))
(n+2)(n+3)=30(n+1))
(n+3)=30)
Pentru ca aranjamentele sa existe trebuie ca n+3 sa fie mai mare decat 2, deci n mai mare decat -1. Rezulta ca n+1 diferit de 0, deci putem imparti prin el:
Deoarece n este mai mare decat -1, membrul stang este strict crescator, deci ecuatia are cel mult o solutie. Observam ca n=3 este solutia.
ii.!A_{x-2}^5=x!)
!}{(x-2-5)!}=(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x)
!}{(x-7)!}=(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x)
(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)=(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x)
(x-5)=(x-1)x)
=x^2-x)



Pentru ca aranjamentele sa existe, trebuie ca x-2 sa fie mai mare decat 4, adica x mai mare decat 6. Rezulta ca (x-4)(x-3)(x-2) este diferit de 0, deci putem imparti prin el:
Impartim prin 5:
Ecuatia de mai sus are radacinile 4 si 9. Doar 9 convine.
c)i.

!}}{\frac{n!}{(n-8)!}}=132)
!}\cdot\frac{(n-8)!}{n!}=132)
!}{(n-10)!}=132)
(n-8)=132)
Pentru ca aranjamentele sa existe, n trebuie sa fie mai mare decat 9, deci membrul stang este strict crescator, ecuatia avand cel mult o solutie. Observam ca n=20 este solutia cautata.
ii.
!}{(n+4-3)!}=20\frac{(n+2)!}{(n+2-1)!})
!}{(n+1)!}=20\frac{(n+2)!}{(n+1)!})
!=20(n+2)!)
(n+4)=20)
Pentru ca aranjamentele sa existe, trebuie ca n+4 sa fie mai mare decat 2, adica n mai mare decat -2. Rezulta ca membrul stang este strict crescator, deci avem cel mult o solutie. n=1 este solutia cautata.
7.a)i.
!}{(2n-1-2)!}\leq930)
!}{(2n-3)!}\leq930)
(2n-1)\leq930)
Pentru ca aranjamentele sa existe, este necesar ca 2n-1 sa fie mai mare decat 1, deci 2n-2 sa fie mai mare decat 0. De asemenea, daca 2n-1 este mai mare decat 1, atunci 2n este mai mare decat 2, deci n mai mare decat 1. Rezulta ca membrul stang al inegalitatii este strict crescator. Observam ca pentru n=16, obtinem 30*31=930, deci solutia inecuatiei este intervalul (1, 16].
ii.(x-3))
!}\leq30(x-2)(x-3))
(x-2)(x-1)x\leq30(x-2)(x-3))
x\leq30)
Pentur ca aranjamentele sa existe, este necesar ca x sa fie mai mare decat 3, deci (x-3)(x-2) este strict pozitiv, deci putem imparti prin el:
Deoarece x este mai mare decat 3, membrul stang este strict crescator. Observam ca pt x=6, membrul stang este egal cu 30, deci solutia inecuatiei este intervalul (3, 6].
b)i.
!}{(n+1-3)!}\leq90\cdot\frac{(n-1)!}{n!}\cdot\frac{(n+1)!}{(n+1-2)!})
!}{(n-2)!}\leq90\cdot\frac1{n}\cdot\frac{(n+1)!}{(n-1)!})
n(n+1)\leq90\cdot\frac1n\cdot&space;n(n+1))
n(n+1)\leq90(n+1))
n\leq90)
Pentru ca aranjamentele sa existe, este necesar ca n+1 sa fie mai mare decat 2. Fiind strict pozitiv, impartim prin el:
Deoarece n+1 este mai mare decat 2, rezulta ca n este mai mare decat 1. Membrul stang este pozitiv si strict crescator. Observam ca pt n=10, membrul stang este egal cu 90. Solutia inecuatiei este deci intervalul (1, 10].
ii.!A_{x-2}^5\leq&space;x!)
!\frac{(x-2)!}{(x-2-5)!}\leq&space;x!)
!\frac{(x-2)!}{(x-7)!}\leq&space;x!)
!(x-6)(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)\leq&space;x!)
(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)\leq\frac{x!}{(x-5)!})
(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)\leq(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x)
(x-5)\leq(x-1)x)
\leq&space;x^2-x)



Pentru ca aranjamentele sa existe, este necesar ca x-2 sa fie mare decat 4, deci x mai mare decat 6. Rezulta ca (x-4)(x-3)(x-2) este strict pozitiv. Impartim prin el.
Simplificam prin 5:
Radacinile polinomului din membrul stang sunt 4 si 9. Acesta este negativ pe intervalele (-inf, 4] si [9, +inf). Deoarece x trebuie sa fie mai mare decat 6, doar al doilea interval convine.
c)i.
!}\geq\frac{(n+2)!}{(n+2-4)!})
!}\geq\frac{(n+2)!}{(n-2)!})
!)
)
\leq182)
Pentru ca aranjamentele sa existe, trebuie ca n sa fie mai mare decat 1, deci membrul stang este strict crescator. Observam ca pentru n=13, membrul stang este egal cu 182, deci solutia inecuatiei este intervalul (1, 13].
ii.
!}\leq5\frac{10!}{(10-(x-1))!})
!}\leq\frac5{(10-x+1)!})


Inmultim cu numitorul membrului drept:
Pentru ca aranjamentele sa existe, este necesar ca x sa fie mai mic sau egal cu 10, deci solutia este intervalul [6, 10].